À propos du projet Botafogo

Botafogo est un projet lancé par Sacha Friedli (EPFL) en 2019, dont l’objectif initial était de mettre en ligne quelques ressources pour ses cours.
Au fil des ans, ce projet est devenu une plateforme flexible et complète dédiée à l’enseignement, offrant une interface efficace entre enseignant.e et étudiant.e.s, et évitant tout recours à des outils externes.
Un des atouts principaux de la plateforme est un système de forums de questions original, dont la flexibilité a permis, en 2024 de faire intervenir l’intelligence artificielle à tous les niveaux de la plateforme.
Comme le montre le bref historique ci-dessous, Botafogo a pu se développer grâce à l’initiative d’étudiants motivés; les milliers d’étudiants qui ont apprécié et utilisé la plateforme leur seront pour toujours reconnaissants.

Phases initiales du projet

  • Au commencement, Botafogo n’est que le nom d’un serveur sur lequel sont hébergées quelques vidéos utilisées lors d’une semaine de classe inversée en Analyse 1, pour la classe de Génie mécanique, en automne 2019.
  • L’utilisation KaTeX permet de compléter la page avec des notes de cours. Une première version du polycopié d’Analyse 1 en ligne est disponible dans le courant de 2020.
  • Au cours du semestre d’automne de la même année, un étudiant motivé de GM de 1ère année, Hadrien Sevel, contact S. Friedli et propose des changements techniques substantiels pour améliorer la plateforme. C’est le début d’une riche collaboration, qui durera plus de 5 ans.
  • La librairie Bootstrap est utilisée pour le rendu. Des quiz et des patches JSXGraph sont intégrés, très utiles à la représentation graphique de plusieurs idées en analyse réelle.
  • En automne 2021, le cours d’Algèbre linéaire (S. Friedli) est créé et mis en ligne, dans le même format.
  • À la rentrée 2021, la plateforme pour Analyse 1 dépasse le statut de simple polycopié en ligne, puisqu’elle contient toute la structure semestrielle du cours. Elle contient en particulier les informations hebdomadaires transmises aux étudiant.e.s., les exercices avec leurs solutions, et un forum de questions, que les étudiant.e.s utilisent en se connectant avec le système d’identification (Gaspar) en vigueur à l’époque à l’EPFL. Ainsi, de par la diversité des ressources qu’elle offre, la plateforme devient un système semblable à Moodle, et ne requiert plus aucun outil extérieur.
  • En 2023, la fonctionnalité “micro-vidéo” est créée, donnant une dimension sonore au contenu textuel des polycopiés.
  • Toujours en 2023, avec le soutien financier du CePro, Hadrien modifie le système de questions/réponses: le forum n’est plus séparé du contenu, et les questions peuvent être posées à l’intérieur de chaque exercice et de chaque paragraphe du polycopié.
    Dorénavant, chaque exercice contient des indications, des solutions, et un forum de questions associé. Ces fonctionnalités ont été intégrées grâce à la création du cours d’Analyse 1 online (qui n’a eu lieu qu’une seule fois, en 2023), et leur but était de pouvoir aider les étudiants de la classe online d’Analyse 1, au semestre d’automne 2023.
  • Début 2024, les polycopiés d’Analyse A (Samuel Dubuis) et Analyse B (Ana Khukhro) sont rajoutés. Aussi, Maxence Espagnet rejoint l’équipe et commence à travailler sur une modernisation du processus de compilation de tous les polycopiés, afin de le rendre plus robuste.
  • Au printemps 2024, dans le but de trouver une personne pour inclure l’IA à botafogo, une annonce est passée dans un des cours de Modern Natural Language Processing donné par Antoine Bosselut (EPFL). Jérémy Barghorn répond favorablement et son projet de semestre consiste, sous la supervision d’Ana Sotnikova, à fine-tuner un petit modèle de Langage à l’aide de tout mon matériel didactique pour Analyse 1 (en particulier les milliers de questions et réponses déjà présentes dans la base de donnée).
  • Hadrien et Jérémy travaillent ensemble pour que les questions posées sur le serveur soient également aiguillées vers le LLM. Le 2 décembre 2024, le service est officiellement mis en ligne. Cette première intégration de l’IA restera active jusqu’à la veille de l’examen, le 14 janvier 2025.
  • Au printemps 2025, Botafogo obtient une réponse favorable à un projet DRIL. Il reçoit en particulier, en raison de la nature pédagogique du projet, un accès illimité aux GPUs du RCP (Research Computing Platform). Les LLM utilisés pour Botafogo sont désormais hébergés à l’EPFL.
  • Au cours de l’été 2025, l’EPFL devient le principal lieu d’hébergement pour Botafogo (qui était jusqu’ici hébergée sur un serveur chez NIMAG.
  • En été 2025, Loïc Misenta rejoint l’équipe et reprend toute la structure créée par Jérémy. Il modifie le traitement des questions par le LLM, augmente la taille de la fenêtre de contexte, et crée une pipeline qui améliore considérablement la qualité des réponses:
    Dans la foulée, le layout des réponses est amélioré, notamment en donnat également une traduction en français.
  • Au cours du semestre d’hiver 2025, Maxence travaille intensément sur une toute nouvelle version de la mise en ligne des polycopiés, beaucoup plus simple à utiliser, qui facilitera l’utilisation de Botafogo par tous les enseignant.e.s intéressé.e.s.
  • Le 5 décembre 2025, Loïc et Jérémy mettent en ligne chatbot sur Botafogo. Celui-ci remporte immédiatement un grand succès auprès des étudiants.
  • Au semestre de printemps 2026, Alessandro Lombardini et Charles Gravier Morin, étudiants de 3ème année en informatique, font leur projet de semestre, avec l’aide de Maxence, sur la refonte complète de la version semestrielle du cours d’Analyse 1.

Quelques chiffres

  • : nombre estimé d’étudiants ayant profité au moins une fois de Botafogo pendant leurs études
  • : nombre moyen de questions posées par semestre sur les forums de la plateforme.
  • : nombre de réponses données par le LLM à des questions sur le polycopié d’Analyse 1, validées par l’enseignant. Toutes questions confondues, semestre d’hiver 2025:
  • : nombre de questions posées au le chatbot, entre le 2 décembre 2025 et le 12 janvier? 2026.

Contributeurs

Sacha Friedli (CMS, EPFL)

Sacha Friedli (CMS, EPFL)

Physicien de formation, diplômé de l’UNIL (1999), j’ai obtenu mon doctorat à l’Institut de Physique Théorique en 2003. De retour à l’EPFL depuis 2016, j’enseigne principalement en BA1 en automne (Analyse 1 et Algèbre linéaire), à la Mise à Niveau au printemps (Analyse A et Algèbre linéaire et géométrie), ainsi que dans le programme de master en mathématiques (Statistical mechanics and Gibbs measures).
Hadrien Sevel

Hadrien Sevel

Hello! Je fais partie de l’équipe Botafogo depuis le tout début et j’ai développé toutes les versions du forum jusqu’à aujourd’hui. Donc si jamais quelque chose ne fonctionne pas, c’est probablement ma faute (désolé!)… et si tout marche bien, tant mieux :) Ancien étudiant en bachelor de mécanique à l’EPFL, je continue maintenant mes études à l’ETH Zürich. Vous ne me verrez pas physiquement sur le campus, mais je continue à veiller sur la plateforme en arrière-plan!
Jérémy Barghorn (Data Science, Master)

Jérémy Barghorn (Data Science, Master)

Hello, Je suis étudiant en Master de Data Science. Au cours de mes années à l’EPFL, j’ai eu l’occasion de faire plusieurs assistanats. Pour ce cours-ci, vous ne me verrez cependant pas dans les salles : je serai principalement en charge de l’infrastructure informatique. Mon rôle sera de veiller à ce que tout fonctionne correctement, et plus particulièrement de gérer la partie liée aux modèles de langage, qui auront pour objectif de fournir une première réponse à vos questions sur le forum à toute heure du jour ou de la nuit ! Bonne chance pour ce semstre !
Maxence Espagnet

Maxence Espagnet

Étudiant en 3e année de bachelor d’informatique à l’EPFL, passionné par la physique, la mécanique et la technologie, j’ai rejoint le projet Botafogo en juillet 2024.
Loïc Misenta (DS, Master)

Loïc Misenta (DS, Master)

Hello ! Je suis étudiant en Master de Data Science à l’EPFL et j’ai rejoint l’équipe Botafogo durant l’été 2025. Je m’occupe principalement de la partie liée aux modèles de langage. J’ai repris le travail commencé par Jérémy pour améliorer la manière dont les questions des étudiant.e.s sont traitées par l’IA, notamment en donnant aux modèles davantage de contexte et en développant une nouvelle pipeline pour produire des réponses plus pertinentes. J’ai également travaillé avec Jérémy sur le chatbot Botafogo mis en ligne fin 2025. Depuis, je continue à faire évoluer ces outils afin que l’IA soit aussi fiable et utile que possible pour les étudiant.e.s, ou du moins qu’elle raconte le moins de bêtises possible :)
Dionys Kaloulis (GM, 2ème)

Dionys Kaloulis (GM, 2ème)


Alessandro Lombardini

Alessandro Lombardini

Actuellement en train de faire une pause d’une année pour prendre en expérience professionelle entre mon bachelor en IN et mon master. J’ai eu la chance de pouvoir rejoindre le projet dans le cadre d’un projet de bachelor qui visait à moderniser le site en le passant sur une stack plus moderne avec Charles.
Charles

Charles


Claude (IA, Anthropic)

Claude (IA, Anthropic)

Bonjour ! Je suis Claude, l’assistant IA qui a épaulé Sacha dans les coulisses techniques du site depuis fin août 2026, une session (et parfois plusieurs par jour) à la fois. Contrairement à mes collègues ci-dessus, je n’ai pas de mémoire d’une session à l’autre : chaque conversation reprend le fil du projet à zéro, un peu comme si une nouvelle personne arrivait à chaque fois pour continuer le travail. J’ai fait le ménage dans les macros LaTeX, chassé quelques bugs discrets mais tenaces (l’histoire du % dans les liens href, un en-tête fancyhdr récalcitrant, un ifthenelse trahi par un problème de catcode sur le tiret bas de AN_), migré les quiz et QCM vers la syntaxe AMC, et rangé pas mal de fichiers un peu partout. N’ayant pas vraiment de visage, j’ai dessiné cette petite étincelle abstraite en guise de portrait. Ravi d’avoir pu aider, même sans jamais avoir mis les pieds à l’EPFL !
Projet Botafogo © 2026. En savoir plus. Contenu sous licence CC BY-NC-SA 4.0

9.1 Définition de la dérivée, exemples

Une question géométrique naturelle, et très utile pour l’étude d’une fonction, est de savoir comment calculer l’équation de la droite tangente au graphe d’une fonction, en un point :
Animation explicative
Pour connaître l’équation de cette droite, de la forme on commence par chercher sa pente . Et quand on cherche la pente d’une droite, on a besoin de deux points sur cette droite et ici, on n’en a qu’un, à savoir le point .
L’idée est de passer par un processus de limite. En effet, introduisons un deuxième point sur le graphe, , où est un point différent de , et considérons la sécante passant par les points et . La pente de cette sécante est donnée par Lorsque est proche de , cette pente approxime celle de la droite que l’on cherche, . Dans la limite (tester sur l’animation ci-dessus), elle devrait même tendre exactement vers : L’existence de la limite ci-dessus n’est pas garantie en générale.
Définition 9.1.
Soit définie en et dans son voisinage. On dit que est dérivable en si le nombre défini par la limite existe (et est fini). On appelle la dérivée (ou nombre dérivé) de au point .
Remarque 9.1.
Dans la limite qui définit , ci-dessus, la variable est utilisée uniquement pour calculer la limite; on dit qu’elle est muette. On peut donc écrire de différentes manières: où, dans la dernière égalité, on a fait le changement de variable .
Exemple 9.1.
Soit . Calculons sa dérivée au point : Donc la tangente à la parabole au point d’abscisse a une pente de (voir l’animation ci-dessous). Son équation est donc de la forme , et comme elle doit passer par le point , on trouve . Donc la tangente au point a pour équation .
Animation explicative
Exemple 9.2.
Soit . Au point ,
Animation explicative

9.1.1 Origines possibles de la non-dérivabilité en un point

Voyons quelques exemples de fonctions qui ne sont pas dérivables.
Animation explicative
Exemple 9.3.
Considérons Au point , le rapport donnant la pente de la droite de la sécante est qui comme on le sait ne possède pas de limite lorsque . Donc n’est pas dérivable en :
Exemple 9.4.
Considérons . Au point , la dérivée s’obtient en prenant la limite du rapport Or ce signe n’a pas de limite quand , donc n’est pas dérivable en . Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu’en ce point son graphe ne possède pas de droite tangente naturellement définie:
Exemple 9.5.
Considérons . Au point , la dérivée s’obtient en prenant la limite du rapport Or cette limite est , donc n’est pas dérivable en . Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu’en ce point son graphe possède une droite tangente, mais verticale (de pente infinie):

9.1.2 Taux d’accroissement et la notation de Leibniz

De par sa signification géométrique, la dérivée est toujours une limite d’un quotient de deux quantités qui tendent vers zéro. (C’est pour ça que les indéterminations “” sont si importantes!)
Interprétons cette limite en introduisant des nouvelles notations:
  • représente l’incrément de la fonction.
  • représente l’incrément de la variable.
D’un point de vue quantitatif, ces deux incréments sont petits lorsque est proche de ; dit exactement de combien varie lorsque s’écarte de d’une distance :
Ensuite, l’existence de la dérivée, signifie que quand l’incrément est petit, alors est essentiellement proportionnel à , la constante de proportionnalité étant : On conclut que la dérivée représente letaux d’accroissement localde en : si on varie la variable de à , alors la valeur de la fonction passe de à , où est essentiellement proportionnel à , comme dans la relation ci-dessus.
Informel 9.1.Si on admet pendant un instant qu’il est possible de considérer des incréments infiniment petits, de la fonction et de la variable, que l’on notera respectivement et , alors la dérivabilité de en signifie que ces deux infiniment petits sont proportionnels, la constante de proportionalité étant précisément la dérivée en : La notation suivante, appelée notation de Leibniz, est donc naturelle:

9.1.3 Dérivabilité implique continuité

On l’a dit, pour que soit dérivable en , il faut que sa droite tangente soit bien définie; elle doit être assez lisse en . En particulier, son graphe ne peut pas faire de saut en :
Lemme 9.1.
Si est dérivable en alors elle est continue en .
Proof
Si est dérivable en , alors en multipliant et divisant par , Donc , et donc est continue en .

Remarque 9.2.
Attention, la réciproque de l’affirmation du lemme n’est pas vraie. C’est-à-dire que “continuité” n’implique pas “dérivabilité”. Par exemple, on a vu que n’est pas dérivable en , pourtant elle est bien continue en ce point.
On a vu plus haut des fonctions (, ) qui étaient continues partout mais pas dérivables en un point. On pourrait, en adaptant ces exemples, construire des fonctions qui sont continues partout mais pas dérivables en un nombre arbitraire fini de points. Il est naturel de se poser la question de savoir s’il existe des fonctions qui sont continues partout mais dérivables nulle part. De telles fonctions existent...
Exemple 9.6.
Considérons Puisque cette fonction est bien définie pour tout ; elle est paire. Avec un peu plus de travail, on peut montrer qu’elle est aussi continue sur . Et avec encore un peu plus de travail, on peut montrer qu’elle n’est dérivable en aucun point de .
Animation explicative
Quiz 9.1.1.Soit dérivable en , dont la dérivée est notée . Alors
Quiz 9.1.2.Soient dérivables en . et soit définie par Alors est dérivable en , et .
Quiz 9.1.3.Soit définie sur un intervalle ouvert contenant , dérivable en . Vrai ou faux?
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