Analyse I / GM

EPFL Botafogo

À propos des exercices et quiz

“Practice, note innate talent, is what makes the difference in exceptional human achievment. ”
Malcolm Gladwell

Sur les exercices

Les exercices jouent un rôle central dans l’apprentissage d’une matière, puisqu’ils représentent le moment où on doit résoudre un problème à l’aide de ce qui a été étudié dans le cours.
Face à un nouvel exercice, la première chose à faire est de comprendre son énoncé. Donc il s’agira de lire l’énoncé, plusieurs fois si nécessaire, pour être sûr que vous comprenez tous les termes qu’il contient, et que vous voyiez ce qu’on vous demande. Si nécessaire, reprenez les définitions du cours.
Les exercices ne sont pas juste des “choses à calculer”: beaucoup sont théoriques et demandent de maîtriser les définitions et les résultats du cours. Donc il ne sert à rien de se lancer dans un calcul si on n’a pas compris la moitié des termes utilisés dans l’énoncé.
Vous avez plusieurs moyens d’avancer dans la résolution des problèmes. Il y a les assistant.es à la séance d’exercices bien sûr, il y a l’aide que vous trouvez en discutant avec vos collègues de travail, mais aussi d’autres outils en ligne, faits pour vous aider à avancer individuellement:
  • Certains exercices sont accompagnés d’indications (vous ne les voyez que si vous accédez aux exercices en ligne, ces indications ne sont pas sur le pdf), en accédant à l’onglet “Indications”; celles-ci fournissent des indices dont le but est d’arriver à faire un premier pas dans la résolution.
  • Vous avez la possibilité de poser des questions sur cet exercice, que ce soit avant, pendant, ou après la séance d’exercices, en ouvrant l’onglet “Forum”. Avant de poser une question, vérifiez si elle n’a pas déjà été posée par quelqu’un d’autre! Un autre étudiant, un assistant ou moi-même y aura probablement déjà répondu. Vous pouvez aussi commenter ou “liker” les questions/réponses des autres.
    Faites bon usage du forum associé à un exercice: s’y rendre trop tôt pour chercher de l’aide risque de vous faire obtenir des informations que vous auriez peut-être obtenu tout-e seul-e en réfléchissant un peu. Un peu comme aller regarder la solution d’un exercice avant d’avoir essayé tout-e seul-e...
“A good course is a course with many stupid questions. ”
Wendelin Werner,Rio de Janeiro, 2008
Ne pensez pas que vous êtes sensés arriver à faire tous les exercices facilement, en compilant directement ce qui a été dans le cours. Il est normal de ne pas arriver à faire un exercice tout de suite sans fautes: ça fait partie intégrante de l’apprentissage!
Les solutions seront disponibles peu après la séance d’exercices. Alors soyons clairs: lire la solution d’un problème sans avoir essayé de le faire avant, c’est comme si on n’avait RIEN fait. Vous pouvez lire et relire la solution d’un exercice, vous dire que vous l’avez “comprise”, peut-être même la reproduire sans faute; ça ne veut pas du tout dire que vous serez capable de résoudre un autre exercice du même genre.
Il faut savoir que le processus d’apprentissage par lequel on passe, lorsqu’on sèche sur un problème, est utile pour une multitude d’autres choses, en plus de l’exercice lui-même...

Sur les quiz

Des quiz apparaissent à la fin de pratiquement toutes les sections du polycopié.
Le but d’un quiz est de vous permettre de voir si vous avez compris la matière qui vient de vous être présentée, en vous posant simplement une suite de questions du type “Vrai ou Faux”? En général, on peut y répondre sans faire aucun calcul.
Il est essentiel de tous les faire. Relisez le cours, lisez les questions qu’on vous pose, réfléchissez, choisissez vos réponses, puis checkez en appuyant sur “Réponses”. Les quiz vous fournissent un moyen de vous auto-évaluer, ne manquez pas cette occasion!
Dans un quiz, répondre “Vrai” signifie que l’on doit pouvoir donner une petite justification à l’aide de ce qui a été présenté dans le cours. Répondre “Faux” doit pouvoir s’accompagner d’un contre-exemple. Par exemple, pour démontrer que l’affirmation “toute fonction continue est dérivable” est fausse, on peut donner le contre-exemple de la fonction , qui est continue partout mais pas dérivable en .
Parfois, trouver un contre-exemple peut être plus difficile. L’affirmation “Toute fonction continue est dérivable en au moins un point” est aussi fausse, mais exhiber un contre-exemple requiert un certain travail...
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9.1 Définition de la dérivée, exemples

Une question géométrique naturelle, et très utile pour l’étude d’une fonction, est de savoir comment calculer l’équation de la droite tangente au graphe d’une fonction, en un point :
Animation explicative
Pour connaître l’équation de cette droite, de la forme on commence par chercher sa pente . Et quand on cherche la pente d’une droite, on a besoin de deux points sur cette droite et ici, on n’en a qu’un, à savoir le point .
L’idée est de passer par un processus de limite. En effet, introduisons un deuxième point sur le graphe, , où est un point différent de , et considérons la sécante passant par les points et . La pente de cette sécante est donnée par Lorsque est proche de , cette pente approxime celle de la droite que l’on cherche, . Dans la limite (tester sur l’animation ci-dessus), elle devrait même tendre exactement vers : L’existence de la limite ci-dessus n’est pas garantie en générale.
Définition 9.1.
Soit définie en et dans son voisinage. On dit que est dérivable en si le nombre défini par la limite existe (et est fini). On appelle la dérivée (ou nombre dérivé) de au point .
Remarque 9.1.
Dans la limite qui définit , ci-dessus, la variable est utilisée uniquement pour calculer la limite; on dit qu’elle est muette. On peut donc écrire de différentes manières: où, dans la dernière égalité, on a fait le changement de variable .
Exemple 9.1.
Soit . Calculons sa dérivée au point : Donc la tangente à la parabole au point d’abscisse a une pente de (voir l’animation ci-dessous). Son équation est donc de la forme , et comme elle doit passer par le point , on trouve . Donc la tangente au point a pour équation .
Animation explicative
Exemple 9.2.
Soit . Au point ,
Animation explicative

9.1.1 Origines possibles de la non-dérivabilité en un point

Voyons quelques exemples de fonctions qui ne sont pas dérivables.
Animation explicative
Exemple 9.3.
Considérons Au point , le rapport donnant la pente de la droite de la sécante est qui comme on le sait ne possède pas de limite lorsque . Donc n’est pas dérivable en :
Exemple 9.4.
Considérons . Au point , la dérivée s’obtient en prenant la limite du rapport Or ce signe n’a pas de limite quand , donc n’est pas dérivable en . Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu’en ce point son graphe ne possède pas de droite tangente naturellement définie:
Exemple 9.5.
Considérons . Au point , la dérivée s’obtient en prenant la limite du rapport Or cette limite est , donc n’est pas dérivable en . Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu’en ce point son graphe possède une droite tangente, mais verticale (de pente infinie):

9.1.2 Taux d’accroissement et la notation de Leibniz

De par sa signification géométrique, la dérivée est toujours une limite d’un quotient de deux quantités qui tendent vers zéro. (C’est pour ça que les indéterminations “” sont si importantes!)
Interprétons cette limite en introduisant des nouvelles notations:
  • représente l’incrément de la fonction.
  • représente l’incrément de la variable.
D’un point de vue quantitatif, ces deux incréments sont petits lorsque est proche de ; dit exactement de combien varie lorsque s’écarte de d’une distance :
Ensuite, l’existence de la dérivée, signifie que quand l’incrément est petit, alors est essentiellement proportionnel à , la constante de proportionnalité étant : On conclut que la dérivée représente letaux d’accroissement localde en : si on varie la variable de à , alors la valeur de la fonction passe de à , où est essentiellement proportionnel à , comme dans la relation ci-dessus.
Informel 9.1.Si on admet pendant un instant qu’il est possible de considérer des incréments infiniment petits, de la fonction et de la variable, que l’on notera respectivement et , alors la dérivabilité de en signifie que ces deux infiniment petits sont proportionnels, la constante de proportionalité étant précisément la dérivée en : La notation suivante, appelée notation de Leibniz, est donc naturelle:

9.1.3 Dérivabilité implique continuité

On l’a dit, pour que soit dérivable en , il faut que sa droite tangente soit bien définie; elle doit être assez lisse en . En particulier, son graphe ne peut pas faire de saut en :
Lemme 9.1.
Si est dérivable en alors elle est continue en .
Proof
Si est dérivable en , alors en multipliant et divisant par , Donc , et donc est continue en .

Remarque 9.2.
Attention, la réciproque de l’affirmation du lemme n’est pas vraie. C’est-à-dire que “continuité” n’implique pas “dérivabilité”. Par exemple, on a vu que n’est pas dérivable en , pourtant elle est bien continue en ce point.
On a vu plus haut des fonctions (, ) qui étaient continues partout mais pas dérivables en un point. On pourrait, en adaptant ces exemples, construire des fonctions qui sont continues partout mais pas dérivables en un nombre arbitraire fini de points. Il est naturel de se poser la question de savoir s’il existe des fonctions qui sont continues partout mais dérivables nulle part. De telles fonctions existent...
Exemple 9.6.
Considérons Puisque cette fonction est bien définie pour tout ; elle est paire. Avec un peu plus de travail, on peut montrer qu’elle est aussi continue sur . Et avec encore un peu plus de travail, on peut montrer qu’elle n’est dérivable en aucun point de .
Animation explicative
Quiz 9.1.1.Soit dérivable en , dont la dérivée est notée . Alors
Quiz 9.1.2.Soient dérivables en . et soit définie par Alors est dérivable en , et .
Quiz 9.1.3.Soit définie sur un intervalle ouvert contenant , dérivable en . Vrai ou faux?
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