On sait que $f(x)=|x|$ n’est pas dérivable en $x_0=0$: Pourtant, ses dérivées latérales existent en $0$, puisque $$f_{\pm }^{\prime }(0)=\underset{x\to 0\pm }{\lim }\frac{|x|-|0|}{x-0}=\underset{x\to 0\pm }{\lim }\frac{\pm x}{x}=\pm 1.$$

Étudions la dérivabilité de $$f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)=3-x^2& \text{ si }x⩽1,\\ h(x)=x^3-3x^2+4& \text{ si }x>1\end{array}$$ au point $x_{\ast }=1$. Remarquons que $f$ est continue en ce point puisque $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=2=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }h(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x),$$ qui est également égale à $f(1)=2$.
Pour tester la dérivabilité, $$\begin{array}{rl}{f}_{-}^{\prime }(1)& =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{g(x)-g(1)}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(3-x^2)-2}{x-1}=-2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{f}_{+}^{\prime }(1)& =\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{h(x)-g(1)}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x^3-3x^2+4)-2}{x-1}=-3\end{array}$$ Comme $f_{-}^{\prime }(1)\ne f_{+}^{\prime }(1)$, $f$ n’est pas dérivable en $1$.

Soit $$f(x):=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+1& \text{ si }x<0,\\ \sin (2x)+b& \text{ si }x⩾0.\end{array}$$ Remarquons qu’en dehors de $0$, $f$ est partout dérivable, quelles que soient les valeurs de $a$ et $b$. Déterminons les paramètres $a,b$ de manière à ce que $f$ soit dérivable en $x_0=0$.
Pour être dérivable en $0$, il faut d’abord que $f$ soit continue en $0$. Commençons donc par assurer que $f$ est continue en $0$. Pour cela, remarquons que $f(0)=\sin (2\cdot 0)+b=b$, $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\sin (2x)+b)=b,$$ et $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x^2+ax+1)=1.$$ Pour avoir la continuité en $0$, on doit donc imposer $b=1$.
Passons à la dérivabilité en $0$. Puisqu’on peut dorénavant considérer que $b=1$, on calcule d’abord $$\begin{array}{rl}{f}_{-}^{\prime }(0)& =\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}\\ & =\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{(h^2+ah+1)-1}{h}\\ & =\underset{h\to 0^{-}}{\lim }(a+h)=a,\end{array}$$ puis $$\begin{array}{rl}{f}_{+}^{\prime }(0)& =\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}\\ & =\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{(\sin (2h)+1)-1}{h}\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin (2h)}{h}=2.\end{array}$$ Comme $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si $f_{-}^{\prime }(0)=f_{+}^{\prime }(0)$, la seule possibilité est d’imposer $a=2$.