Pour connaître l’équation de cette droite, de la forme $$y=mx+h,$$ on commence par chercher sa pente $m$. Et quand on cherche la pente d’une droite, on a besoin de deux points sur cette droite et ici, on n’en a qu’un, à savoir le point $(x_0,f(x_0))$.
L’idée est de passer par un processus de limite. En effet, introduisons un deuxième point sur le graphe, $(x,f(x))$, où $x$ est un point différent de $x_0$, et considérons la sécante passant par les points $(x_0,f(x_0))$ et $(x,f(x))$. La pente de cette sécante est donnée par $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Lorsque $x$ est proche de $x_0$, cette pente approxime celle de la droite que l’on cherche, $m$. Dans la limite $x\to x_0$ (tester sur l’animation ci-dessus), elle devrait même tendre exactement vers $m$: $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=m.$$ L’existence de la limite ci-dessus n’est pas garantie en générale.

D’un point de vue quantitatif, ces deux incréments sont petits lorsque $x$ est proche de $x_0$; $\Delta f$ dit exactement de combien $f$ varie lorsque $x$ s’écarte de $x_0$ d’une distance $\Delta x$:

Ensuite, l’existence de la dérivée, $$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x},$$ signifie que quand l’incrément $\Delta x$ est petit, alors $\Delta f$ est essentiellement proportionnel à $\Delta x$, la constante de proportionnalité étant $f^{\prime }(x_0)$: $$\Delta f\simeq f^{\prime }(x_0)\Delta x$$ On conclut que la dérivée $f^{\prime }(x_0)$ représente letaux d’accroissement localde $f$ en $x_0$: si on varie la variable de $x_0$ à $x_0+\Delta x$, alors la valeur de la fonction passe de $f(x_0)$ à $f(x_0)+\Delta f$, où $\Delta f$ est essentiellement proportionnel à $\Delta x$, comme dans la relation ci-dessus.

On l’a dit, pour que $f$ soit dérivable en $x_0$, il faut que sa droite tangente soit bien définie; elle doit être assez lisse en $x_0$. En particulier, son graphe ne peut pas faire de saut en $x_0$:

On a vu plus haut des fonctions ($|x|$, $\sqrt[3]{x}$) qui étaient continues partout mais pas dérivables en un point. On pourrait, en adaptant ces exemples, construire des fonctions qui sont continues partout mais pas dérivables en un nombre arbitraire fini de points. Il est naturel de se poser la question de savoir s’il existe des fonctions qui sont continues partout mais dérivables nulle part. De telles fonctions existent...