Répétons l’intérêt géométrique de la dérivabilité: lorsque

f

est dérivable au point

x_{0}

, le nombre

D = f^{'} (x_{0})

représente la pente de la droite tangente au graphe de

f

au point

(x_{0}, f (x_{0}))

. Mais la dérivabilité représente aussi un intérêt analytique, puisqu’elle fournit une façon particulière de représenter la fonction au voisinage de

x_{0}

Commençons par illustrer ce fait sur un exemple simple:

Exemple 9.7.

Considérons

f (x) = x^{2}

au voisinage de

x_{0} = 1

. On a déjà vu dans la section précédente que

f

était dérivable en

x_{0} = 1

, puisque

f^{'} (1) = x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1 ^{2}}{x - 1} = 2 .

Si on définit, pour tout

x \neq = 1

r_{1} (x) := \frac{x ^{2} - 1 ^{2}}{x - 1} - 2,

alors

x \to 1 lim r_{1} (x) = 0 .

On peut de plus écrire

x^{2} = 1^{2} + (x^{2} - 1^{2}) = 1^{2} + \frac{x ^{2} - 1 ^{2}}{x - 1} (x - 1) = 1^{2} + (2 + (\frac{x ^{2} - 1 ^{2}}{x - 1} - 2)) (x - 1) = 1^{2} + (2 + r_{1} (x)) (x - 1) = = f (1) 1^{2} + f^{'} (1) 2 (x - 1) + r_{1} (x) (x - 1)

En d’autres termes, on peut écrire

f (x) = f (1) + (f^{'} (1) + r_{1} (x)) (x - 1) = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + r_{1} (x) (x - 1)

La fonction

x \mapsto f (1) + f^{'} (1) (x - 1)

n’est autre que l’équation de la droite tangente au graphe de

x^{2}

x_{0} = 1

; elle approxime les valeurs de

f (x)

lorsque

x

est proche de

x_{0}

f (x) ≃ f (1) + f^{'} (1) (x - 1)

Puis, le terme “

+ r_{1} (x) (x - 1)

” est la correction qui donne l’écart entre la vraie fonction et son approximation.

Ce que nous venons d’apprendre dans le cas

f (x) = x^{2}

est vrai plus généralement:

Théorème 9.1.

Soit

f

une fonction définie en

x_{0}

et dans son voisinage. Alors:

f

est dérivable en

x_{0}

et sa dérivée en ce point vaut

f^{'} (x_{0}) = D

si et seulement si il existe une fonction

r_{x_{0}} (x)

définie dans un voisinage épointé de

x_{0}

telle que

lim_{x \to x_{0}} r_{x_{0}} (x) = 0

, et telle que

f

peut être représentée, dans ce voisinage, comme suit:

f (x) = f (x_{0}) + (D + r_{x_{0}} (x)) (x - x_{0}) .

Proof

f

est dérivable en

x_{0}

f^{'} (x_{0}) = D

, alors

x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = D,

que l’on peut écrire

x \to x_{0} lim {\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} - D} = 0 .

Donc si on définit la fonction

r_{x_{0}} (x) := \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} - D,

alors par ce qui est écrit au-dessus, cette dernière satisfait

lim_{x \to x_{0}} r_{x_{0}} (x) = 0

. De plus, en isolant

f (x)

dans la définition de

r_{x_{0}}

, on voit que

f (x) = f (x_{0}) + (D + r_{x_{0}} (x)) (x - x_{0}) .

Inversément, si cette relation est satisfaite pour une fonction

r_{x_{0}}

satisfaisant

lim_{x \to x_{0}} r_{x_{0}} (x) = 0

, alors

\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = D + r_{x_{0}} (x),

et la limite de ce quotient existe puisque

x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = D + x \to x_{0} lim r_{x_{0}} (x) = D,

ce qui implique que

f

est dérivable en

x_{0}

et que

f^{'} (x_{0}) = D

□

Une fonction dérivable en

x_{0}

peut donc s’écrire

f (x) = f (x_{0}) + (f^{'} (x_{0}) + r_{x_{0}} (x)) (x - x_{0}) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + r_{x_{0}} (x) (x - x_{0}),

où

lim_{x \to x_{0}} r_{x_{0}} (x) = 0

.
Cette représentation est utile si on considère

x

proche de

x_{0}

, car dans ce cas le terme

r_{x_{0}} (x) (x - x_{0})

est petit, et si on le néglige, on obtient une approximation de

f

au voisinage de

x_{0}

, appelée l’approximation linéaire:

f (x) ≃ f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Cette approximation est celle qui consiste simplement à approximer le graphe de

f

, proche de

x_{0}

, par celui de sa droite tangente au point

(x_{0}, f (x_{0}))

9.2.1 Sur les deux premiers niveaux de régularité d’une fonction

On a pour l’instant deux notions de régularité pour une fonction

f

au voisinage d’un point

x_{0}

. Décrivons ce qu’elle représente en qualité d’approximation.

La continuité: Si $f$ est continue en $x_{0}$ , alors les valeurs de $f (x)$ sont proches de $f (x_{0})$ lorsque $x$ est proche de $x_{0}$ , qui est une approximation d’ordre zéro de $f$ au voisinage de $x_{0}$ : $f (x) ≃ f (x_{0})$
La dérivabilité: Si $f$ est dérivable en $x_{0}$ , alors elle peut être représentée comme ci-dessus, et si on néglige $r_{x_{0}} (x)$ , on obtient l’approximation linéaire, appelée aussi approximation du premier ordre, de $f$ au voisinage de $x_{0}$ : $f (x) ≃ f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

L’approximation à l’ordre zéro revient à approximer

f (x)

par la constante

f (x_{0})

, mais l’approximation linéaire est plus précise, puisqu’elle tient compte de comment

f

varie au voisinage de

x_{0}

Comparons ces approximations sur un exemple simple:

Exemple 9.8.

Supposons que l’on veuille calculer

1.99 8^{4}

.
Écrivons

1.99 8^{4} = f (1.998)

, où

f (x) = x^{4}

. Ce que l’on aimerait faire est donc d’estimer la valeur de

f

en un point

x = 1.998

qui est proche de

x_{0} = 2

À l’ordre zéro, $1.99 8^{4} = f (1.998) ≃ f (2) = 2^{4} = 16 .$
Au premier ordre, $1.99 8^{4} = f (1.998) ≃ f (2) + f^{'} (2) (1.998 - 2) = 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} (1.998 - 2) = 15.936$

Sachant que la vraie valeur est

1.99 8^{4} = 15.9360959...

, l’approximation à l’ordre zéro représente donc une erreur d’environ

0.4%

, alors que celle du premier ordre, moins de

0.001%

Nous verrons plus tard comment aller au-delà de l’approximation linéaire, lorsque nous calculerons des développements limités.

Analyse I / GM

9.2 Dérivée et approximation linéaire

9.2.1 Sur les deux premiers niveaux de régularité d’une fonction