Supposons que $f$ possède un maximum local en $x_0$: $\exists \delta >0$ tel que $f(x)⩽f(x_0)$ pour tout $x\in I:=]x_0-\delta ,x_0+\delta [$.

• Si $x\in I$, $x>x_0$, on a toujours $f(x)-f(x_0)⩽0$ puisque $x_0$ est un maximum local, et donc aussi (puisque $x-x_0>0$)
  $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}⩽0$$
  
  En prenant $x\to x_0^{+}$, cela donne
  $$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}⩽0.$$
• En procédant de même pour un $x<x_0$, on
  $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}⩾0,$$
  et donc en prenant $x\to x_0^{-}$, on montre que $f^{\prime }(x_0)⩾0$.

Puisque $f$ est dérivable en $x_0$, on doit avoir $f^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)$, et puisque ce nombre est à la fois $⩽0$ et $⩾0$, on a $f^{\prime }(x_0)=0$.

Si $f$ est constante, $f(a)=f(x)=f(b)$ pour tout $x\in ]a,b[$, sa dérivée est nulle et donc on peut prendre n’importe quel point $c\in ]a,b[$, et avoir $f^{\prime }(c)=0$.
Supposons donc que $f$ n’est pas constante. Comme $f$ est continue sur l’intervalle compacte $[a,b]$, elle atteint son maximum en un point $x^{\ast }\in [a,b]$, et son minimum en un point $x_{\ast }\in [a,b]$. Comme $f$ n’est pas constante, au moins un de ces points se trouve strictement à l’intérieur de l’intervalle. Supposons que c’est $x^{\ast }\in ]a,b[$. Comme $x^{\ast }$ est un maximum global, c’est aussi un maximum local, et par le lemme précédent $f^{\prime }(x^{\ast })=0$.