Soit donc $f$ une fonction donnée, et soient $x_1<x_2$ deux réels. On peut paramétrer toutes les positions intermédiaires (sur l’axe réel) entre $x_1$ et $x_2$ à l’aide d’un paramètre $\lambda \in [0,1]$, en définissant $$x(\lambda ):=x_1+\lambda (x_2-x_1)=(1-\lambda )x_1+\lambda x_2.$$ On a $x(0)=x_1$, $x(1)=x_2$, et toute autre valeur $0<\lambda <1$ représente un point intermédiaire: $x_1<x(\lambda )<x_2$. Maintenant, le point sur le segment reliant $A=(x_1,f(x_1))$ à $B=(x_2,f(x_2))$, situé au-dessus de $x(\lambda )$, est à hauteur $$y(\lambda )=f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1))=(1-\lambda )f(x_1)+\lambda f(x_2).$$

Le segment est donc entièrement au-dessus du graphe si et seulement si $$f(x(\lambda ))⩽y(\lambda )\forall \lambda \in [0,1],$$ et il est entièrement au-dessous du graphe si et seulement si $$f(x(\lambda ))⩾y(\lambda )\forall \lambda \in [0,1],$$ Ceci mène à la définition analytique de convexité/concavité: