Dans cette section, on étudie le comportement des fonctions loin de l’origine, en considérant des limites où

x \to \pm \infty

Comme la problématique est essentiellement la même que celle introduite dans l’étude des suites

(a_{n})

et de leurs limites lorsque

n \to \infty

, on se contentera de donner les définitions, calquées sur celles du chapitre sur les suites, et de donner quelques exemples.

7.8.1 Limites finies

Définition 7.5.

Soit $f$ dont le domaine contient un intervalle de la forme $] a, + \infty [$ . Alors $x \to + \infty lim f (x) = L$ si pour tout $ε > 0$ il existe $N > 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $x ⩾ N$ .
Soit $f$ dont le domaine contient un intervalle de la forme $] - \infty, b [$ . Alors $x \to - \infty lim f (x) = L$ si pour tout $ε > 0$ il existe $N < 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $x ⩽ N$ .

On pourra utiliser sans autre toutes les propriétés listées dans la leçon sur les limites de suites, ainsi que les techniques pour étudier ces limites (extraire le terme dominant, conjugué, etc.).

7.8.2 Limites infinies

Définition 7.6.

Soit $f$ une fonction dont le domaine contient un intervalle de la forme $] a, + \infty [$ .
- $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ si et seulement si pour tout $M > 0$ il existe $N > 0$ tel que $f (x) ⩾ M$ dès que $x ⩾ N$ .
- $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ si et seulement si pour tout $m < 0$ il existe $N > 0$ tel que $f (x) ⩽ m$ dès que $x ⩾ N$ .
Soit $f$ une fonction dont le domaine contient un intervalle de la forme $] - \infty, b [$ .
- $x \to - \infty lim f (x) = + \infty$ si et seulement si pour tout $M > 0$ il existe $N < 0$ tel que $f (x) ⩾ M$ dès que $x ⩽ N$ .
- $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ si et seulement si pour tout $m < 0$ il existe $N < 0$ tel que $f (x) ⩽ m$ dès que $x ⩽ N$ .

Exemple 7.22.

Considérons le comportement des fonctions polynomiales

f (x) = x^{p}

, où

p \in Z^{*}

. Si

p

est négatif, alors

x \to \pm \infty lim x^{p} = 0 .

Par contre si

p

est positif, alors

x \to + \infty lim x^{p} = + \infty,

x \to - \infty lim x^{p} = {+ \infty - \infty si p est pair, si p est impair .

Exemple 7.23.

Exponentielle de base

a > 0

(

a \neq = 1

x \to - \infty lim a^{x} = {+ \infty 0 si 0 < a < 1, si a > 1 .

x \to + \infty lim a^{x} = {0 + \infty si 0 < a < 1, si a > 1 .

Remarque 7.2.

Le fait qu’ici on considère une fonction

f

de la variable réelle

x

, à l’inverse des suites dont la “variable” est un entier

n

, fait que certains outils nouveaux feront leur apparition, comme la règle de Bernoulli-l’Hôpital (voir chapitre sur la dérivation).
Nous reviendrons par exemple sur les limites qui caractérisent la vitesse avec laquelle certaines fonctions fondamentales tendent vers l’infini, comme

x \to \infty lim \frac{( lo g _{a} ( x ) ) ^{p}}{x ^{α}} = 0, p, α > 0 .

Analyse I / GM

7.8 Limites $x \to \pm \infty$

7.8.1 Limites finies

7.8.2 Limites infinies

7.8 Limites x→±∞

7.8.1 Limites finies

7.8.2 Limites infinies

7.8 Limites $x \to \pm \infty$