La première propriété suit de ${\int }_a^{b}f(t)dt+{\int }_b^{c}f(t)dt={\int }_a^{c}f(t)dt$. Pour la deuxième, par le changement de variable $s:=t/\lambda$ (qui donne $dt=\lambda ds$) dans l’intégrale définie, $$I(\lambda a,\lambda b)={\int }_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}={\int }_a^b\frac{\lambda dt}{\lambda s}={\int }_a^b\frac{dt}{s}=I(a,b).$$

Par la proposition, $I(x,xy)=I(y)$, et donc, en utilisant la relation de Chasles, $$\begin{array}{rl}\log (xy)& =I(1,xy)\\ & =I(1,x)+I(x,xy)\\ & =I(1,x)+I(1,y)\\ & =\log (x)+\log (y).\end{array}$$

Par le Théorème Fondamental de l’Analyse, étant défini comme l’intégrale d’une fonction continue, $\log$ est dérivable et $$(\log (x){)}^{\prime }=({\int }_1^x\frac{dt}{t}{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\forall x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }.$$

Puisque c’est une fonction strictement croissante, il suffit de montrer que $$\underset{n\to \infty }{\lim }\log (n)=\underset{n\to \infty }{\lim }I(1,n)=+\infty .$$ En comparant l’aire sous la courbe avec les rectangles de bases $[k,k+1]$ sous la courbe, $k=1,\dots ,n-1$, $$I(1,n)⩾\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}.$$ On reconnaît dans cette somme la somme partielle de la série harmonique, qui tend vers l’infini lorsque $n\to \infty$.
L’autre limite est une conséquence de la première, puisque par le changement de variable $x=\frac{1}{y}$, $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log (x)& =\underset{y\to +\infty }{\lim }\log (\frac{1}{y})\\ & =-\underset{y\to +\infty }{\lim }\log (y)\\ & =-\infty .\end{array}$$