Ici, nous introduirons la propriété cruciale qui différencie les réels des rationnels. En particulier, nous verrons comment cette propriété permet de garantir que dans

R

, l’équation

x^{2} = 2

possède bel et bien une solution.

Avant de commencer, il nous faut introduire un peu de terminologie.

1.6.1 Minimum, maximum

L’ordre introduit plus haut sur

R

permet de distinguer certains éléments d’un sous-ensemble de

R

Définition 1.2.

Soit

A

un sous-ensemble non-vide de

R

Un élément $x^{*} \in A$ est dit maximal si $x ⩽ x^{*}$ $\forall x \in A$ . On dit aussi que $x^{*}$ est le maximum de $A$ , et on note: $x^{*} = max A$ .
Un élément $x_{*} \in A$ est dit minimal si $x_{*} ⩽ x$ $\forall x \in A$ . On dit aussi que $x_{*}$ est le minimum de $A$ , et on note: $x_{*} = min A$ .

Exemple 1.3.

max {- 1, - 3, - 5, 2, 1} min {- 1, - 3, - 5, 2, 1} = 2 = - 5 .

On réalise que quand un ensemble contient un nombre fini d’éléments, alors il possède toujours un minimum et un maximum. En d’autres termes, une liste finie de nombres contient toujours un plus grand et un plus petit élément. Par contre, lorsque l’ensemble possède un nombre infini d’éléments, l’existence d’un minimum ou maximum n’est plus garantie.

Exemple 1.4.

Vu comme sous-ensemble des réels, l’ensemble des entiers

N = {0, 1, 2, 3, \dots} \subset R

possède un élément minimal,

min N = 0

, mais il ne possède pas d’élément maximal.

Exemple 1.5.

Considérons l’ensemble (la couleur, c’est juste pour voir l’ensemble sur le dessin du dessous) de tous les nombres de la forme

x = \frac{1}{n}

, où

n > 0

est un entier:

A = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots}

Clairement,

A

possède un élément maximal:

x^{*} = max A = 1

. En effet,

x ⩽ 1

pour tout

x \in A

, et de plus

1 \in A

Par contre,

A

ne possède pas de minimum. En effet, aucun élément de

A

n’est plus petit que les autres.

Exemple 1.6.

Soit

B = [0, 1 [

. D’abord,

B

possède un minimum, donné par

x_{*} = min B = 0

. (En effet,

0 ⩽ x

pour tout

x \in B

, et

0 \in B

.) Par contre,

B

n’a pas de maximum. En effet, pour tout

x \in B

, il existe toujours un autre élément

x^{'} \in B

tel que

x^{'} > x

. On peut par exemple prendre

x^{'} := \frac{x + 1}{2}

, qui est le point milieu entre

x

1

Donc aucun élément de

B

n’est maximal.

Exemple 1.7.

Considérons le sous-ensemble de

R

C = {x \in Q : x < 2} .

Par définition,

C

est composé de tous les rationnels

x = \frac{p}{q}

, tels que

\frac{p}{q} < 2

. On a donc, par exemple,

\frac{2}{3} \in C

\frac{7}{6} \in C

\frac{199}{100} \in C

, etc.

C

n’a pas de minimum puisque

- n \in C

pour tout entier

n

, et

C

n’a pas de maximum non plus puisque pour tout

\frac{p}{q} \in C

, on a aussi

\frac{\frac{p}{q} + 2}{2}

1.6.2 Majorants, minorants

Définition 1.3.

Soit

A \subset R

$A$ est majoré si il existe $M \in R$ tel que $x ⩽ M$ pour tout $x \in A$ ; on dit qu’un tel $M$ majore $A$ , ou que c’est un majorant pour $A$ .
$A$ est minoré si il existe $m \in R$ tel que $x ⩾ m$ pour tout $x \in A$ ; on dit qu’un tel $m$ minore $A$ , ou que c’est un minorant pour $A$ .
Si $A$ est à la fois majoré et minoré, il est borné.

Exemple 1.8.

B = [0, 1 [

est majoré;

M = 1

M = 2

sont des majorants. En fait, n’importe quel

M ⩾ 1

majore

B

.
Par contre,

M = 0.9

n’est pas un majorant; en effet, si on prend par exemple le point

x = 0.95

, alors

x \in B

, et

x > M

B

est aussi minoré: n’importe quel réel

m ⩽ 0

minore

B

Informel 1.2.Un ensemble

A

est borné si et seulement si il peut être “rangé dans une boîte”, c’est-à-dire placé à l’intérieur d’un intervalle

[m, M]

, où

m

M

sont des nombres finis.

Exemple 1.9.

Vus comme sous-ensembles de

R

$N$ est minoré puisque $0 ⩽ n$ pour tout $n \in N$ . Par contre $N$ n’est pas majoré. En effet, pour tout $M \in R$ , il existe un $n \in N$ tel que $n > M$ . Nous utiliserons ceci constamment par la suite.
$Z$ n’est ni minoré, ni majoré.

1.6.3 Supremum, infimum

Passons maintenant à la notion essentielle de ce chapitre sur les réels:

Définition 1.4.

Soit

A \subset R

un ensemble non-vide.
Un réel

s \in R

est appelé borne supérieure (ou supremum) de

A

$s$ majore $A$ (c.-à-d. que $x ⩽ s$ pour tout $x \in A$ ),
$s$ est le plus petit majorant de $A$ (c.-à-d. que pour tout $s^{'} < s$ , il existe $x \in A$ tel que $x > s^{'}$ ).

s

est supremum de

A

, on le note

s = sup A

.
Un réel

s \in R

est appelé borne inférieure (ou infimum) de

A

$s$ minore $A$ (c.-à-d. que $x ⩾ s$ pour tout $x \in A$ ),
$s$ est le plus grand minorant de $A$ (c.-à-d. que pour tout $s^{'} > s$ , il existe $x \in A$ tel que $x < s^{'}$ ).

s

est l’infimum de

A

, on le note

s = inf A

Remarque 1.3.

Il est clair que

Si $A$ possède un élément maximal, alors $sup A = max A$ .
Si $A$ possède un élément minimal, alors $inf A = min A$ .

Mais en général, le maximum et le minimum peuvent ne pas exister, alors que le supremum et l’infimum comme on verra, existent toujours dans les réels.

On reformulera souvent la deuxième condition, dans le supremum par exemple, en disant que pour tout

ε > 0

il existe un

x \in A

tel que

s - ε ⩽ x ⩽ s .

Informel 1.3.(Interprétation “physique” de l’infimum et du supremum pour un ensemble borné.) On a dit qu’un ensemble

A

borné peut toujours être “rangé dans une boîte”

[m, M]

. Et bien parmi toutes les boîtes qui contienne

A

, la plus petite est celle pour laquelle

m = inf A

M = sup A

Exemple 1.10.

Reprenons l’ensemble de tout à l’heure:

A = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots \frac{1}{n}, \frac{1}{n + 1}, \dots} .

Puisque

1 \in A

et que tout

x \in A

est plus petit ou égal à

1

1

est l’élément maximal de

A

, et

sup A = max A = 1

.
Vérifions maintenant que

inf A = 0

. D’abord,

0

minore

A

puisque tout nombre de la forme

\frac{1}{n}

est plus grand ou égal à

0

. Pour montrer que

0

est le plus grand minorant, considérons un nombre quelconque

s^{'} > 0

, et montrons que

s^{'}

n’est pas un minorant pour

A

. En effet, si

s^{'} > 0

, alors il existe un entier

n ⩾ 1

tel que

n > \frac{1}{s ^{'}}

, ce qui est équivalent à

\frac{1}{n} < s^{'}

. Or comme

\frac{1}{n} \in A

, ceci montre que

s^{'}

minore pas

A

.
On a donc bien montré que

0

est le plus grand minorant:

inf A = 0

Exemple 1.11.

Soit encore

B = [0, 1 [

. On a vu que

B

n’a pas de maximum; montrons maintenant que

sup B = 1

Premièrement, on a $x ⩽ 1$ pour tout $x \in B$ , donc $B$ est majoré par $1$ .
Deuxièmement, si $s^{'} < 1$ , alors il existe $\tilde{x} \in B$ tel que $\tilde{x} > s^{'}$ . En effet, si $s^{'} < 0$ , n’importe quel $\tilde{x} \in B$ suffit. Sinon, si $0 ⩽ s^{'} < 1$ , on peut par exemple prendre $\tilde{x} := \frac{s ^{'} + 1}{2}$ .

Ensuite, on a

inf B = 0

. En effet,

0

est le plus grand minorant:

$0 ⩽ x$ pour tout $x \in B$ , et
pour tout $s^{'} > 0$ , il existe un $x \in B$ tel que $x < s^{'}$

1.6.4 La différence entre $R$ et $Q$

Passons à l’axiome qui confère à

R

une propriété qui permet de l’utiliser pour faire de l’analyse: Dans

R

tout ensemble non-vide majoré possède un supremum,
tout ensemble non-vide minoré possède un infimum.

Pour des ensembles qui ne sont pas bornés, la convention suivante est parfois adoptée (ce n’est qu’une notation):

Si $A$ n’est pas majoré, $sup A := + \infty$ .
Si $A$ n’est pas minoré, $inf A := - \infty$ .

Exemple 1.12.

Calculons l’infimum/supremum de l’ensemble

B = {x \in R_{+} : sin (x) > \frac{1}{2}} .

Remarquons pour commencer que

sin (x) > \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \in] \frac{π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{6} + 2 k π [, k \in Z

Comme on veut

x \in R_{+}

, on doit se restreindre à

k \in N

, ce qui donne

B = k \in N ⋃] \frac{π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{6} + 2 k π [=] \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6} [\cup] \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6} [\cup \dots

On a donc

inf B = \frac{π}{6}

, et comme cet ensemble n’est pas majoré,

sup B = + \infty

Quiz 1.6.1.Soit

A \subset R

un ensemble non vide. Si

M \in R

ne majore pas

A

, cela signifie

Quiz 1.6.2.Soit

A \subset R

un ensemble non-vide majoré. Si

s = sup A

, cela signifie que

Analyse I / GM

1.6 Supremum et infimum

1.6.1 Minimum, maximum

1.6.2 Majorants, minorants

1.6.3 Supremum, infimum

1.6.4 La différence entre $R$ et $Q$

1.6 Supremum et infimum

1.6.1 Minimum, maximum

1.6.2 Majorants, minorants

1.6.3 Supremum, infimum

1.6.4 La différence entre R et Q

1.6.4 La différence entre $R$ et $Q$