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Animation explicative

Exemple 1.2.

Puisque $\frac{7}{8} > 0$ , on a $∣ \frac{7}{8} ∣ = \frac{7}{8}$ .
Puisque $- 3 < 0$ , on a $∣ - 3∣ = - (- 3) = 3$ .

$∣ x ∣ ⩾ 0$
$∣ - x ∣ = ∣ x ∣$
$∣ x ∣ = 0$ si et seulement si $x = 0$
$- ∣ x ∣ ⩽ x ⩽ ∣ x ∣$
Si $a ⩾ 0$ , alors $∣ x ∣ ⩽ a$ si et seulement si $- a ⩽ x ⩽ + a$ .
$∣ x \cdot y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣$
Si $y \neq = 0$ , $∣ \frac{x}{y} ∣ = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}$ .
Si on divise un réel non-nul $x$ par sa valeur absolue, on obtient son signe: $\frac{x}{∣ x ∣} = {+ 1 - 1 si x > 0, si x < 0 .$

Proposition 1.1.

(Inégalité triangulaire) Pour tous

x, y \in R

∣ x + y ∣ ⩽ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ .

L’inégalité triangulaire sera utilisée très souvent lorsqu’on aura besoin d’estimer des sommes de réels. Plus précisément, considérons la somme de deux nombres

x

y

, que l’on sait être “petits” dans le sens où on a trouvé un

ε > 0

tel que

∣ x ∣ ⩽ ε

∣ y ∣ ⩽ ε

. (Remarquons que ceci n’implique rien sur les signes des nombres

x

y

.) Alors, l’inégalité triangulaire permet de garantir que

∣ x + y ∣ ⩽ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ⩽ ε + ε = 2 ε,

et donc

- 2 ε ⩽ x + y ⩽ 2 ε .

Remarque 1.2.

On peut utiliser la valeur absolue pour caractériser le nombre “zéro”: c’est l’unique nombre dont la valeur absolue est plus petite que tout nombre positif:

x = 0 ⟺ ∣ x ∣ = 0 ⟺ ∣ x ∣ ⩽ ε \forall ε > 0 .

La valeur absolue permet de mesurer la proximité de deux réels

x, y, \in R

, en définissant leur distance:

dist (x, y) := ∣ x - y ∣ .

Lemme 1.2.

(Propriétés de la distance)

$dist (x, y) ⩾ 0$ pour tous $x, y \in R$ . De plus, $dist (x, y) = 0$ si et seulement si $x = y$ .
$dist (x, y) = dist (y, x)$ pour tous $x, y \in R$
Pour tous $x, y, z \in R$ , $dist (x, y) ⩽ dist (x, z) + dist (z, y) .$

Proof

Les deux premières affirmations suivent directement des propriétés de la valeur absolue. Pour la troisième, on insère

- z + z = 0

, et on utilise l’inégalité triangulaire:

dist (x, y) = ∣ x - y ∣ = ∣ (x - z) + (z - y) ∣ ⩽ ∣ x - z ∣ + ∣ z - y ∣ = dist (x, z) + dist (z, y) .

Remarque: En géométrie Euclidienne, l’inégalité triangulaire dit que le chemin direct allant d’un point

A

à un point

B

est plus court que tout autre chemin (rectiligne) passant par un point intermédiaire

C

dist (A, B) ⩽ dist (A, C) + dist (C, B) .

□

On utilisera souvent les équivalences suivantes:

dist (x, a) ⩽ ε ⟺ ∣ x - a ∣ ⩽ ε ⟺ a - ε ⩽ x ⩽ a + ε ⟺ x \in [a - ε, a + ε]

Quiz 1.5.1.Soit

a > 0

Quiz 1.5.2.Vrai ou faux?

Quiz 1.5.3.Vrai ou faux?

Analyse I / GM

1.5 Valeur absolue et distance

1.5.1 Distance