Il s’agit de montrer que pour tout élément $x\in A$, il existe toujours un $x^{\prime }\in A$ qui est strictement plus grand que $x$.
Cherchons un $x^{\prime }$ de la forme $x^{\prime }=x+\frac{1}{n}$, avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Dans ce cas, $$x^{\prime 2}=(x+\frac{1}{n}{)}^2=x^2+\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}.$$ Puisque $n⩾1$, on peut majorer: $\frac{1}{n^2}⩽\frac{1}{n}$. Ainsi, $$x^{\prime 2}⩽x^2+\frac{2x}{n}+\frac{1}{n}=x^2+\frac{2x+1}{n}.$$ Puisqu’on veut $x^{\prime }\in A$, c’est-à-dire $x^{\prime 2}<2$, imposons $$x^2+\frac{2x+1}{n}<2,$$ qui est équivalente à $$n>\frac{2x+1}{2-x^2}.$$ Le membre de droite est bien défini et positif puisque $2-x^2>0$. Et un $n$ satisfaisant à cette propriété existe toujours puisque, quelle que soit la valeur de $\frac{2x+1}{2-x^2}$, il existe toujours un $n$ plus grand que ce nombre (ceci découle du fait que $\mathbb{N}$ n’est pas majoré). Si on prend un tel $n$, on a donc $x^{\prime }=x+\frac{1}{n}>x$, et $$\begin{array}{rl}{x}^{\prime 2}=(x+\frac{1}{n}{)}^2& =x^2+\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}\\ & <x^2+\frac{2x}{n}+\frac{1}{n}\\ & =x^2+\frac{2x+1}{n}\\ & <x^2+\frac{2x+1}{\frac{2x+1}{2-x^2}}=2.\end{array}$$ Ceci montre que $A$ n’a pas d’élément maximal.

Si on avait $s\in A$, cela impliquerait que $s$ est un élément maximal pour $A$. Comme on vient de voir que $A$ ne possède pas d’élément maximal, on en déduit que $s\notin A$, et donc que $$s^2⩾2.$$ Nous allons maintenant montrer que $$s^2⩽2.$$ Pour ce faire, commençons par définir le réel $$M:=\frac{2+s^2}{2s}$$ et montrons que $M$ majore $A$. En effet, observons que si $x>M$, alors $$\begin{array}{rl}{x}^2=(s+(x-s){)}^2& =s^2+2s(x-s)+\underset{⩾0}{\underbrace{(x-s{)}^2}}\\ & ⩾s^2+2s(x-s)\\ & >s^2+2s(M-s)\\ & =s^2+2s(\frac{2+s^2}{2s}-s)=2,\end{array}$$ et donc $x\notin A$. Ceci implique que si $x\in A$, alors $x⩽M$; donc $M$ majore $A$. Mais, comme $s$ est par définition le plus petit majorant de $A$, on a que $s⩽M$, c’est-à-dire $$s⩽\frac{2+s^2}{2s},$$ qui est équivalente à $s^2⩽2$.
Comme $s^2$ est à la fois $⩾2$ et $⩽2$, ceci implique $s^2=2$.