Supposons pour commencer que $0⩽\rho <1$. On peut donc choisir un $\delta >0$ tel que $\rho <1-\delta$, et trouver un entier $N$ tel que $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩽1-\delta \forall n⩾N,$$ c’est-à-dire $$|a_{n+1}|⩽(1-\delta )|a_n|\forall n⩾N.$$ En utilisant cette inégalité pour $N$, $$|a_{N+1}|⩽(1-\delta )|a_N|,$$ en l’utilisant pour $N+1$, $$|a_{N+2}|⩽(1-\delta )|a_{N+1}|⩽(1-\delta {)}^2|a_N|,$$ et ainsi de suite, en l’utilisant pour $N+k$, $$|a_{N+k}|⩽(1-\delta )|a_{N+(k-1)}|⩽\cdots ⩽(1-\delta {)}^k|a_N|,$$ ce qui implique, puisque $(1-\delta {)}^k\to 0$ lorsque $k\to \infty$, que $$\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=\underset{k\to \infty }{\lim }|a_{N+k}|=0.$$ Ceci implique $a_n\to 0$.
Supposons maintenant que $\rho >1$, et fixons un $\delta >0$ tel que $\rho >1+\delta$. On a alors l’existence d’un entier $N$ tel que $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩾1+\delta \forall n⩾N.$$ En utilisant cette inégalité pour $N$, $$|a_{N+1}|⩾(1+\delta )|a_N|,$$ en l’utilisant pour $N+1$, $$|a_{N+2}|⩾(1+\delta )|a_{N+1}|⩾(1+\delta {)}^2|a_N|,$$ et ainsi de suite, en l’utilisant pour $N+k$, $$|a_{N+k}|⩾(1+\delta )|a_{N+(k-1)}|⩾\cdots ⩾(1+\delta {)}^k|a_N|,$$ ce qui implique, puisque $(1+\delta {)}^k\to +\infty$ lorsque $k\to \infty$, que $$\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=\underset{k\to \infty }{\lim }|a_{N+k}|=+\infty .$$ Ainsi, $(a_n)$ n’a pas de limite, et si $a_n⩾0$ pour tout $n$ suffisamment grand, alors $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=+\infty .$$