On sait qu’une suite convergente est bornée, mais le contraire n’est pas vrai: une suite peut être bornée sans converger (par exemple:

(- 1)^{n}

).
On va voir ici que l’on peut malgré tout associer à toute suite bornée deux nombres, appelés limite supérieure et limite inférieure, qui donnent des informations utiles sur le comportement de la suite à l’infini. On verra aussi que ces deux nombres sont utiles pour étudier la convergence de la suite, puisqu’ils sont égaux si et seulement si la suite converge.

Soit

(a_{n})

une suite bornée. On définit deux nouvelles suites,

(M_{n})

(m_{n})

en posant, pour tout

n

M_{n} m_{n} := sup {a_{n}, a_{n + 1}, \dots}, := inf {a_{n}, a_{n + 1}, \dots} .

Ces deux suites de réels sont bien définies puisque l’on suppose

(a_{n})

bornée. De plus,

Comme $M_{n}$ majore ${a_{n}, a_{n + 1}, \dots}$ , on a en particulier que $a_{n} ⩽ M_{n}$ .
Comme $m_{n}$ minore ${a_{n}, a_{n + 1}, \dots}$ , on a en particulier que $a_{n} ⩾ m_{n}$ .

On peut donc écrire

m_{n} ⩽ a_{n} ⩽ M_{n} \forall n . (3.1)

Lemme 3.5.

Les suites

(M_{n})

(m_{n})

sont monotones et bornées. Plus précisément,

$(M_{n})$ est décroissante et minorée.
$(m_{n})$ est croissante et majorée.

En particulier, ces deux suites sont convergentes.

On observe ces propriétés sur l’animation ci-dessous. La suite

(a_{n})

est représentée par les points noirs,

(M_{n})

par les points rouges, et

(m_{n})

par les points bleus:

Maintenant que l’on sait que ces suites sont convergentes, il est naturel de donner des noms à leurs limites:

Définition 3.7.

Soit

(a_{n})

une suite bornée,

(M_{n})

(m_{n})

définies comme ci-dessus.

La limite supérieure de $(a_{n})$ est définie par $n \to \infty lim sup a_{n} := n \to \infty lim M_{n} .$
La limite inférieure de $(a_{n})$ est définie par $n \to \infty lim inf a_{n} := n \to \infty lim m_{n} .$

Remarque 3.3.

Une suite bornée peut ne pas converger, mais ses limites supérieures et inférieures existent toujours.
Puisque $m_{n} ⩽ M_{n}$ pour tout $n$ , on a que $n \to \infty lim inf a_{n} ⩽ n \to \infty lim sup a_{n} .$

Exemple 3.38.

Considérons la suite

a_{n} = (- 1)^{n}

, qui comme on le sait est bornée mais ne possède pas de limite. Quel que soit la valeur de

n

, l’ensemble

{a_{n}, a_{n + 1}, \dots}

contient une infinité de

+ 1

, et une infinité de

- 1

, ce qui implique

M_{n} = + 1

m_{n} = - 1

. Ainsi,

n \to \infty lim M_{n} n \to \infty lim m_{n} = + 1, = - 1,

qui signifie

n \to \infty lim sup a_{n} n \to \infty lim inf a_{n} = + 1, = - 1 .

Exemple 3.39.

Considérons

a_{n} = \frac{1}{n}

. Puisque

(a_{n})

est décroissante,

M_{n} = sup {a_{n}, a_{n + 1}, \dots} = sup {\frac{1}{n}, \frac{1}{n + 1}, \dots} = \frac{1}{n} \to 0 .

Aussi,

m_{n} = inf {a_{n}, a_{n + 1}, \dots} = inf {\frac{1}{n}, \frac{1}{n + 1}, \dots} = 0

On a donc

n \to \infty lim sup a_{n} = n \to \infty lim inf a_{n} = 0 .

Remarquons que dans ce cas, on sait aussi que

n \to \infty lim a_{n} = 0

On a vu dans ce dernier exemple un cas d’une suite convergente pour laquelle les limites supérieures et inférieures avaient une valeur commune. C’est en fait un critère:

Théorème 3.9.

Soit

(a_{n})

une suite bornée. Alors

(a_{n})

converge si et seulement si ses limites inférieures et supérieures sont égales. Plus précisément:

n \to \infty lim a_{n} = L \Leftrightarrow n \to \infty lim inf a_{n} = n \to \infty lim sup a_{n} = L .

Bien-sûr ce résultat est aussi utile si on veut montrer qu’une suite bornée ne converge pas: il suffit de voir que ses limites supérieures et inférieures sont différentes.

Proof

(Voir aussi la vidéo)

\Rightarrow:

a_{n} \to L

, alors pour tout

ε > 0

il existe

N

tel que

∣ a_{n} - L ∣ ⩽ ε

pour tout

n ⩾ N

. Ceci implique que

L - ε ⩽ a_{n} ⩽ L + ε, \forall n ⩾ N,

et donc en particulier que pour tout

n ⩾ N

M_{n} = sup {a_{n}, a_{n + 1}, \dots} ⩽ L + ε,

m_{n} = inf {a_{n}, a_{n + 1}, \dots} ⩾ L - ε .

Par conséquent,

L - ε ⩽ n \to \infty lim inf a_{n} ⩽ n \to \infty lim sup a_{n} ⩽ L + ε .

Comme

ε > 0

est arbitraire, on a

n \to \infty lim inf a_{n} = n \to \infty lim sup a_{n} = L .

\Leftarrow:

Supposons que

lim inf_{n \to \infty} a_{n} = lim sup_{n \to \infty} a_{n} = L

. Si on fixe

ε > 0

, alors on a d’une part qu’il existe un

N_{+}

tel que

sup {a_{n}, a_{n + 1}, \dots} ⩽ L + ε, \forall n ⩾ N_{+}

et d’autre part qu’il existe un

N_{-}

tel que

inf {a_{n}, a_{n + 1}, \dots} ⩾ L - ε, \forall n ⩾ N_{-}

Ceci implique, en particulier, que

L - ε ⩽ a_{n} ⩽ L + ε, \forall n ⩾ N,

où on a posé

N = max {N_{-}, N_{+}}

. Ceci montre que

a_{n} \to L

□

Exemple 3.40.

Considérons la suite

(a_{n})_{n ⩾ 0}

définie par

a_{n} = sin (\frac{π}{4} + n \frac{π}{2}) .

Ses premiers termes

n = 0, 1, 2, 3

sont

+ \frac{2}{2}, + \frac{2}{2}, - \frac{2}{2}, - \frac{2}{2},

Par la périodicité du sinus, le reste de la suite s’obtient en répétant cette séquence. On a en particulier que pour tout

n

M_{n} = + \frac{2}{2}, m_{n} = - \frac{2}{2} .

On a donc

n \to \infty lim sup a_{n} n \to \infty lim inf a_{n} = + \frac{2}{2}, = - \frac{2}{2} .

Par le théorème précédent, on en conclut que

(a_{n})

est divergente.

Quiz 3.11.1.Soit

(a_{n})

une suite bornée dont la limite supérieure vaut

L

. Vrai ou faux?

Quiz 3.11.2.Vrai ou faux?

Analyse I / GM

3.11 Limite supérieure, limite inférieure