Considérons la suite $$a_n=\frac{1}{n},n⩾1.$$ Montrons que cette suite tend vers zéro, dans le sens défini ci-dessus.
Fixons un $\epsilon >0$, et vérifions que l’on peut toujours trouver un entier $N$ tel que $$|a_n|⩽\epsilon \forall n⩾N.$$Pour ce faire, remarquons que la condition $|a_n|⩽\epsilon$ est en fait équivalente à $\frac{1}{n}⩽\epsilon$, et comme cette dernière est équivalente à $n⩾\frac{1}{\epsilon }$. Pour l’entier $N$, on peut prendre n’importe quel entier plus grand ou égal à $\frac{1}{\epsilon }$. On peut par exemple prendre (rappelons que $\lfloor x\rfloor :=$partie entière de $x$): $$N:=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1.$$ On a ainsi trouvé un entier $N$ tel que $n⩾N$ implique $|a_n|⩽\epsilon$.

Considérons la suite $(a_n{)}_{n⩾0}$ définie par $$a_n=\frac{3n+2}{2n+1}.$$ Montrons, en utilisant la définition de limite donnée plus haut, que $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{3}{2}.$$ Fixons donc un $\epsilon >0$, et vérifions que l’on peut trouver un entier $N$ tel que $$\left|a_n-\frac{3}{2}\right|⩽\epsilon \forall n⩾N.$$ D’abord, écrivons explicitement la différence $$\left|a_n-\frac{3}{2}\right|=|\frac{3n+2}{2n+1}-\frac{3}{2}|=\frac{1}{2(2n+1)}.$$ On voit que cette dernière expression peut être rendue arbitrairement petite en prenant $n$ suffisamment grand. Plus précisément: fixons un $\epsilon >0$. Une simple manipulation montre que $$\frac{1}{2(2n+1)}⩽\epsilon ⟺n⩾\frac{1}{2}(\frac{1}{2\epsilon }-1).$$ Pour $N$, il suffit donc de prendre n’importe quel entier plus grand ou égal à $\frac{1}{2}(\frac{1}{2\epsilon }-1)$. Pour être tout à fait précis, définissons (rappel: $\lfloor x\rfloor =$valeur entière de $x$) $$N:=\lfloor \frac{1}{2}(\frac{1}{2\epsilon }-1)\rfloor +1.$$ Par cette définition de $N$, $n⩾N$ implique que $|a_n-\frac{3}{2}|⩽\epsilon$.
On a donc bien montré que $(a_n)$ est convergente, et que sa limite vaut $\frac{3}{2}$.
Remarquons que peu importe comment il est choisi, $N$ devient de plus en plus grand à mesure que $\epsilon >0$ devient plus petit.

Considérons la suite $(a_n{)}_{n⩾1}$ définie par $$a_n=(-1{)}^n.$$ Comme cette suite ne prend que les valeurs $+1$ (lorsque $n$ est pair) et $-1$ (lorsque $n$ est impair), elle est nécessairement divergente. En effet, pour n’importe quel $L\in \mathbb{R}$, si $\epsilon >0$ est pris suffisamment petit (en fait: si $0<\epsilon <\frac{1}{2}$), alors il existe forcément une infinité d’indices $n$ tels que $a_n\notin [L-\epsilon ,L+\epsilon ]$.