Dans les sections précédentes, on a surtout considéré les suites convergentes, c’est-à-dire celles qui tendent vers une limite finie lorsque

n \to \infty

.
On n’étudiera pas systématiquement les suites divergentes, dont les comportements peuvent être aussi compliqués que variés, mais nous introduirons quand-même quelques outils qui permettront de décrire certains de ces comportements divergents.
Par exemple, une classe importante de suites divergentes est celle des suites qui tendent vers l’infini.

Définition 3.6.

Soit

(a_{n})

une suite réelle.

On dit que $(a_{n})$ tend vers $+ \infty$ (lorsque $n \to \infty$ ) si pour tout $M > 0$ il existe un entier positif $N_{0}$ (qui dépend en général de $M$ ) tel que
$a_{n} ⩾ M \forall n ⩾ N_{0} .$
On notera, formellement, $n \to \infty lim a_{n} = + \infty$ , ou simplement $a_{n} \to + \infty$ .
On dit que $(a_{n})$ tend vers $- \infty$ (lorsque $n \to \infty$ ) si pour tout $M < 0$ il existe un entier positif $N_{0}$ (qui dépend en général de $M$ ) tel que
$a_{n} ⩽ M \forall n ⩾ N_{0} .$
On notera (formellement) $n \to \infty lim a_{n} = - \infty$ , ou simplement $a_{n} \to - \infty$ .

Donc

a_{n}

tend vers

+ \infty

si elle dépasse et reste au-dessus de n’importe quel seuil

M > 0

(sous-entendu: arbitrairement grand) lorsque son indice

n

est pris suffisamment grand.

Sur l’animation suivante, fixer une valeur du seuil

M > 0

, puis chercher un

N

tel que

a_{n} ⩾ M

pour tout

n ⩾ N

Exemple 3.20.

Montrons que la suite

(a_{n})

définie par

a_{n} = \frac{2 n - 5}{7}

tend vers

+ \infty

. Pour cela, fixons un seuil arbitraire

M > 0

, et remarquons que

a_{n} ⩾ M \Leftrightarrow \frac{2 n - 5}{7} ⩾ M \Leftrightarrow n ⩾ \frac{7 M + 5}{2} .

Soit donc

N := ⌊ \frac{7 M + 5}{2} ⌋ + 1

. Si

n ⩾ N

, alors

n ⩾ \frac{7 M + 5}{2}

et donc

a_{n} ⩾ M

. Comme on peut trouver un tel

N

pour tout seuil

M > 0

, ceci montre bien que

a_{n} \to \infty

Exemple 3.21.

Considérons ensuite

a_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1},

et montrons que

a_{n} \to \infty

. Pour un seuil

M > 0

, on a

a_{n} ⩾ M \Leftrightarrow n^{2} - M n - M ⩾ 0

Le polynôme

P (x) = x^{2} - M x - M

possède deux racines,

x_{\pm} = \frac{M \pm M ^{2} + 4 M}{2},

et il est positif partout en dehors de l’intervalle

[x_{-}, x_{+}]

. En définissant

N := ⌊ x_{+} ⌋ + 1

, on a bien

a_{n} ⩾ M

dès que

n ⩾ N

3.6.1 Propriétés des suites qui tendent vers l’infini

Tout comme les suites convergentes, celles qui tendent vers l’infini obéissent à certaines propriétés.

Théorème 3.3.

Soient

(a_{n})

(b_{n})

deux suites. Si

a_{n} \to + \infty

alors $\frac{1}{a _{n}} \to 0$ .
et si $b_{n} \to + \infty$ , alors $a_{n} + b_{n} \to + \infty$ et $a_{n} b_{n} \to + \infty$ .
et si $b_{n}$ est bornée, alors $a_{n} + b_{n} \to + \infty$ et $\frac{b _{n}}{a _{n}} \to 0$ .
et s’il existe $δ > 0$ tel que $b_{n} ⩾ δ$ pour tout $n$ suffisamment grand, alors $a_{n} b_{n} \to + \infty$ . (En particulier, si $b_{n} \to L$ , avec $L > 0$ , alors $a_{n} b_{n} \to + \infty$ .)
et si $b_{n} ⩾ a_{n}$ pour tout $n$ suffisamment grand, alors $b_{n} \to + \infty$ .

Exemple 3.22.

Considérons la suite

x_{n} = n^{3} - 7 sin (\frac{n}{2}) cos (n),

que l’on peut écrire comme

x_{n} = a_{n} + b_{n}

, où

a_{n} = n^{3}, b_{n} = - 7 sin (\frac{n}{2}) cos (n) .

On voit que

a_{n} \to \infty

. On ne sait pas grand chose sur le signe de

b_{n}

, mais on sait qu’elle est bornée puisque

∣ b_{n} ∣ = - 7 sin (\frac{n}{2}) cos (n) ⩽ 7,

et donc

n \to \infty lim x_{n} = n \to \infty lim (a_{n} + b_{n}) = + \infty .

Exemple 3.23.

Considérons

x_{n} = n (2 + cos (n^{5})),

que l’on peut écrire comme

x_{n} = a_{n} b_{n}

, où

a_{n} = n, b_{n} = 2 + cos (n^{5}) .

On a

a_{n} \to \infty

, mais

b_{n}

n’a visiblement pas de limite. Pourtant, on peut remarquer que

cos (n^{5}) ⩾ - 1

, et donc

b_{n} = 2 + cos (n^{5}) ⩾ 2 - 1 = 1 =: δ > 0 .

On a donc

n \to \infty lim x_{n} = n \to \infty lim a_{n} b_{n} = + \infty .

Quiz 3.6.1.Soit

(a_{n})

une suite qui n’est pas majorée. Parmis les affirmations suivantes, lesquelles sont correctes?

Quiz 3.6.2.Si une suite

(a_{n})

ne tend pas vers

+ \infty

, alors

Quiz 3.6.3.Soit

a_{n} \to + \infty

. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies?

Analyse I / GM

3.6 Suites qui tendent vers l’infini

3.6.1 Propriétés des suites qui tendent vers l’infini