On a vu qu’une suite convergente est forcément bornée. Mais le contraire n’est pas vrai: une suite bornée ne converge pas forcément.

Exemple 3.17.

La suite

a_{n} = (- 1)^{n}

ne converge pas, mais elle est bornée, puisque

∣ a_{n} ∣ = 1

, ce qui implique

- 1 ⩽ a_{n} ⩽ 1

pour tout

n

Par contre, si une suite est bornée et monotone, alors elle converge:

Théorème 3.2.

Soit

(a_{n})

une suite.

Si $(a_{n})$ est croissante et majorée, elle converge.
Si $(a_{n})$ est décroissante et minorée, elle converge.

Proof

Soit

(a_{n})

une suite croissante et majorée. Considérons l’ensemble

A \subset R

défini comme étant l’ensemble de tous les points de la suite:

A := {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots} .

Puisque la suite est bornée,

A

est majoré; on peut donc considérer le réel

L

défini par

L := sup A .

Nous allons montrer que

a_{n} \to L

.
Par définition, le supremum est un majorant, et donc

a_{n} ⩽ L

pour tout

n

. De plus, comme le supremum est le plus petit majorant, on a que pour tout

ε > 0

, il existe

n_{*}

tel que

L - ε ⩽ a_{n_{*}}

. Or comme la suite est croissante, on a

L - ε ⩽ a_{n_{*}} ⩽ a_{n_{*} + 1} ⩽ a_{n_{*} + 2} ⩽ \dots ⩽ L,

ce qui implique

∣ a_{n} - L ∣ ⩽ ε

pour tout

n ⩾ n_{*}

.
On a ainsi montré que pour tout

ε > 0

, on a

∣ a_{n} - L ∣ ⩽ ε

pour tout

n

suffisamment grand. Ceci montre que

a_{n} \to L

.
(Dans le deuxième cas, lorsque la suite est décroissante et minorée, on adapte cet argument après avoir défini

L := inf A

□

Si le résultat peut paraître intuitif, la preuve a montré qu’il repose entièrement sur l’existence d’un supremum pour les ensembles majorés de

R

Le théorème ci-dessus garantit que si une suite est monotone et bornée, alors elle possède une limite

L

, qui est soit un supremum (si la suite est croissante et majorée), soit un infimum (si la suite est décroissante et minorée). Parfois, on peut calculer cette limite

L

explicitement:

Exemple 3.18.

Considérons la suite

(a_{n})_{n ⩾ 0}

définie par

a_{n} = \frac{n}{n + 1} .

Nous avons montré précédemment que cette suite est strictement croissante. Or elle est aussi majorée, puisque

n < n + 1

implique

a_{n} = \frac{n}{n + 1} < \frac{n + 1}{n + 1} = 1 .

Le théorème ci-dessus garantit donc qu’elle converge, et que sa limite est égale à

L = sup {a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots} .

On peut vérifier (exercice!) que

L = 1

L’exemple suivant présente un cas dans lequel le théorème permet de montrer qu’une certaine suite converge, mais sans pour autant donner la valeur de la limite.

Exemple 3.19.

Soit

(b_{n})

la suite définie ainsi:

b_{1} b_{2} b_{3} ⋮ b_{n} b_{n + 1} ⋮ := \frac{1}{1 ^{2}} := \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} := \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} := \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} := \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}}

Cette suite est croissante puisque

b_{n + 1} = b_{n} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} > b_{n}

. Pour montrer qu’elle est bornée, remarquons que pour tout

k ⩾ 2

\frac{1}{k ^{2}} = \frac{1}{k \cdot k} < \frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k} .

En utilisant cette inégalité pour

k = 2, 3, \dots, n

, on obtient une borne supérieure dans laquelle beaucoup de termes se téléscopent:

b_{n} = \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} < \frac{1}{1 ^{2}} + (\frac{1}{1} = 0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} = 0 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \dots = 0 - \frac{1}{n - 1}) + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})

On a donc que

b_{n} < \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2 .

On a ainsi montré que

(b_{n})

est majorée par

M = 2

, et comme elle est aussi croissante, elle converge: il existe

L \in R

tel que

n \to \infty lim b_{n} = L .

Puisque

1 ⩽ b_{n} < 2

, on a aussi que

1 ⩽ L ⩽ 2

Informel 3.6.Euler a montré en 1734 que cette limite vaut

L = \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}} + \dots = \frac{π ^{2}}{6} = 1.664934 \dots .

Quiz 3.5.1.Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies?

Analyse I / GM

3.5 Les suites monotones et bornées