Théorème 9.2.

Soit

I =] a, b [

un intervalle ouvert, et

f : I \to F

une fonction bijective (en particulier,

F = Im (f)

), dont la réciproque est notée

f^{- 1} : F \to I

. Soit encore

x_{0} \in I

. Si

f

est dérivable en

x_{0}

et si

f^{'} (x_{0}) \neq = 0

, alors

f^{- 1}

est dérivable en

y_{0} = f (x_{0})

, et

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ))} .

Avant de donner la preuve, donnons une explication graphique de la formule énoncée dans le théorème:

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ))} .

Pour commencer, rappelons que le graphe de la fonction réciproque

f^{- 1}

du graphe de

f

à travers la diagonale (pour ce rappel, voir ici):

Or la réflexion d’une droite de pente

m \neq = 0

à travers la diagonale est une droite de pente

\frac{1}{m}

. On s’attend donc à ce que la dérivée de

f^{- 1}

au point

(y_{0}, x_{0})

soit égale à l’inverse de la dérivée de

f

au point

(x_{0}, y_{0})

Proof

Pour étudier la dérivée de la réciproque

f^{- 1}

au point

y_{0} = f (x_{0})

, on considère le quotient est

\frac{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{y - y _{0}} .

Comme

f

est bijective, on peut associer à tout

y

proche de

y_{0}

son unique préimage,

x = f^{- 1} (y)

. Clairement,

y \to y_{0}

implique

x \to x_{0}

. On peut donc récrire la limite

\frac{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{y - y _{0}} = \frac{1}{\frac{y - y _{0}}{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}} = \frac{1}{\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}} .

Puisque

f^{'} (x_{0}) \neq = 0

, le dénominateur de cette dernière fraction est non nul dès que

x

est suffisamment proche de

x_{0}

, c’est-à-dire lorsque

y

est suffisamment proche de

y_{0}

.
Maintenant, en prenant la limite,

y \to y_{0} lim \frac{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{y - y _{0}} = x \to x_{0} lim \frac{1}{\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}} = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ))} .

□

Informel 9.2.Pour se souvenir de la formule, on peut partir de la relation qui définit la fonction réciproque

f (f^{- 1} (y)) = y \forall y \in F .

Puis, en supposant que la réciproque est dérivable, dériver par rapport à

y

des deux côtés. Du côté gauche, on dérive une composée, donc

f^{'} (f^{- 1} (y)) (f^{- 1})^{'} (y) = 1 .

On retrouve donc bien

(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ))} .

Exemple 9.11.

Supposons qu’on connaît

(e^{x})^{'} = e^{x}

mais qu’on ne sait plus dériver

lo g (x)

. Comme elles sont réciproques l’une de l’autre, que

f (x) = e^{x}

est dérivable partout et que sa dérivée n’est jamais nulle, on a

e^{l o g (y)} = y,

que l’on dérive par rapport à

y

= y e^{l o g (y)} (lo g (y))^{'} = 1

On retrouve alors:

(lo g (y))^{'} = \frac{1}{y} .

Dérivons maintenant les réciproques des fonctions trigonométriques.

Exemple 9.12.

Rappelons que la réciproque du sinus est

arcsin : [- 1, 1] x \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \mapsto arcsin (x)

Par définition,

y = sin (arcsin (y)) \forall y \in [- 1, 1]

Puisque la dérivée du sinus ne s’annule nulle part sur

] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

, le théorème garantit que

arcsin

est dérivable sur

] - 1, 1 [

. En prenant la dérivée par rapport à

y

des deux côtés de cette dernière identité: si

y \in] - 1, 1 [

1 = (sin (arcsin (y)))^{'} = cos (arcsin (y)) (arcsin (y))^{'} .

Comme l’angle

arcsin (y) \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

, son cosinus est positif, et donc

cos (arcsin (y)) = 1 - sin (arcsin (y))^{2} = 1 - y^{2} .

On a donc

(arcsin (y))^{'} = \frac{1}{1 - y ^{2}} \forall y \in] - 1, 1 [

Exemple 9.13.

Rappelons que la réciproque du cosinus est

arccos : [- 1, 1] x \to [0, π] \mapsto arccos (x)

Par définition,

y = cos (arccos (y)) \forall y \in [- 1, 1]

Puisque la dérivée du cosinus ne s’annule nulle part sur

] 0, π [

, le théorème garantit que

arccos

est dérivable sur

] - 1, 1 [

. On calcule sa dérivée en prenant la dérivée par rapport à

y

des deux côtés de cette dernière identité: si

y \in] - 1, 1 [

1 = (cos (arccos (y)))^{'} = - sin (arccos (y)) (arccos (y))^{'} .

Comme l’angle

arccos (y) \in] 0, π [

, son sinus est positif, et donc

sin (arccos (y)) = 1 - cos (arccos (y))^{2} = 1 - y^{2} .

On a donc

(arccos (y))^{'} = \frac{- 1}{1 - y ^{2}} \forall y \in] - 1, 1 [

Exemple 9.14.

Rappelons que la réciproque de la tangente est

arctan : R x \to] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [\mapsto arctan (x)

Par définition,

y = tan (arctan (y)) \forall y \in R

Comme la dérivée de la tangente ne s’annulle nulle part sur

] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

arctan

est dérivable partout sur

R

. En dérivant rapport à

y

des deux côtés de cette dernière identité,

1 = (tan (arctan (y)))^{'} = (1 + tan^{2} (arctan (y))) (arctan (y))^{'} = (1 + y^{2}) (arctan (y))^{'} .

On a donc

(arctan (y))^{'} = \frac{1}{1 + y ^{2}} \forall y \in R .

Quiz 9.5.1.Soient

I

J

deux intervalles ouverts, et

f : I \to J

une bijection dérivable. Vrai ou faux?

Analyse I / GM

9.5 Dérivée d’une fonction réciproque