Analyse I / GM
- 9.1 Définition de la dérivée, exemples
- 9.2 Dérivée et approximation linéaire
- 9.3 Règles de dérivation
- 9.4 Dérivées des fonctions élémentaires
- 9.5 Dérivée d’une fonction réciproque
- 9.6 Dérivées latérales
- 9.7 Dérivées d’ordres supérieurs
- 9.8 Fonctions continûment dérivables
- 9.9 Extréma locaux et le Théorème de Rolle
- 9.10 Le Théorème des accroissements finis
- 9.11 La règle de Bernoulli-l’Hôpital
- 9.12 Sur la recherche des extrema d’une fonction sur un intervalle [a,b]
- 9.13 Dérivée seconde et convexité/concavité
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9.4 Dérivées des fonctions élémentaires
Les règles de dérivation vues dans la section précédente permettent de calculer, en principe, la dérivée de n’importe quelle fonction, tant que celle-ci est obtenue par combinaisons (sommes ou différences, produits ou quotients, composées) d’autres fonctions plus simples que l’on sait déjà dériver. Il est donc important de connaître les dérivées des fonctions élémentaires.
Ci-dessous, (…)′ indique la dérivation par rapport à la variable x.
Pour tout n∈N, (xn)′=nxn−1
Proof
On démontre la formule par récurrence sur n. La formule est valide pour n=1 et n=2 (voir plus haut). Si on suppose la formule valide pour n, alors par la règle de dérivation d’un produit, (xn+1)′=(x⋅xn)′=1⋅xn+x⋅nxn−1=(n+1)xn.
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(sinx)′=cosx.
Proof
Montrons que h→0limhsin(x0+h)−sin(x0)=cos(x0). En utilisant la formule de trigonométrie pour le sinus d’une somme, sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β), on peut écrire hsin(x0+h)−sin(x0)=h(sin(x0)cos(h)+cos(x0)sin(h))−sin(x0)=sin(x0)→0hcos(h)−1+→1hsin(h)cos(x0) Dans la dernière ligne, on a fait h→0limhcos(h)−1=h→0limhh2cos(h)−1=0⋅(−21)=0.
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(cosx)′=−sinx.
Proof
On utilise le fait que cos(x)=sin(2π−x), et la formule pour la dérivée d’une composée: (cos(x))′=(sin(2π−x))′=cos(2π−x)⋅(2π−x)′=sin(x)⋅(−1)
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(tanx)′=1+tan2x=cos(x)21.
Proof
Par la formule pour la dérivée d’un quotient, (tan(x))′=(cos(x)sin(x))′=cos(x)2cos(x)2+sin(x)2
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(logx)′=1x,x>0.
Proof
On calcule, pour tout x>0, (log(x))′=h→0limhlog(x+h)−log(x)=h→0limhlog(x(1+xh))−log(x)=h→0limh(log(x)+log(1+xh))−log(x)=h→0limhlog(1+xh)=x1{h→0limxhlog(1+xh)}=x1{t→0limtlog(1+t)}=x1. Dans l’avant-dernière ligne, on a posé t=xh, et utilisé le fait que si h→0, alors t→0. On a ensuite utilisé limt→0tlog(1+t)=1, que nous avons étudiée ici.
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(ex)′=ex.
Proof
(ex)′=h→0limhex+h−ex=h→0limhexeh−ex=ex{h→0limheh−1}=ex Voir les commentaires sur blackpenredpen.
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(ax)′=log(a)ax.
Proof
En exponentiant, a=elog(a), (ax)′=(exlog(a))′=log(a)exlog(a)=log(a)ax.
□
(loga(x))′=xlog(a)1
Proof
Par la formule du changement de base pour le logarithme, (loga(x))′=(log(a)log(x))′=log(a)1(log(x))′=log(a)1⋅x1.
□
Pour tout α∈R, (xα)′=αxα−1,x>0.
Proof
En exponentiant, x=elog(x) (x>0), (xα)′=(eαlog(x))′=eαlog(x)(αlog(x))′=xαxα=αxα−1
□
Pour finir, étudions la dérivation des fonctions du type “f(x)g(x)”. Pour commencer, il faut noter que de telles fonctions sont bien définies uniquement lorsque f(x)>0. Dans ce cas, puisque f(x)>0, son logarithme est bien défini et on peut l’exponentierf(x)=elog(f(x)). Ce qui motive la définition suivante: f(x)g(x):=eg(x)log(f(x)).Si on veut dériver une telle fonction, on devra donc s’assurer que f(x)>0 dans le voisinage du point considéré. On pourra alors appliquer les règles de dérivation démontrées plus haut, ainsi que les dérivées de l’exponentielle et du logarithme, pour calculer: (eg(x)log(f(x)))′=eg(x)log(f(x))(g(x)log(f(x)))′=(g′(x)log(f(x)+f(x)g(x)f′(x)))eg(x)log(f(x))
Exemple 9.10.
Considérons, pour x>0, la fonction h(x)=xx. Remarquons que h(x) n’est ni de la forme xα, ni de la forme ax, mais bien du type f(x)g(x), on doit donc la considérer comme définie à l’aide d’une exponentiation: h(x):=exlog(x). On la dérive alors sur R+∗ en utilisant les règles de dérivation: h′(x)=(exlog(x))′=exlogx(xlogx)′=(log(x)+xx1)exlogx=(log(x)+1)xx.
Quiz 9.4.1.Soit f(x)=sin(cos(tan(x))). Alors pour tout x∈{2π+kπ∣k∈Z},
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