Fixons un nombre $a>0$, différent de $1$, que l’on appelle base.
Si $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }=\{1,2,3,\dots \}$, on définit $$a^n:=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$ Cette notation compacte pour un produit a la propriété fondamentale suivante: pour toute paire $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $$\begin{array}{rl}{a}^{m+n}& =a^m{a}^n.\end{array}$$ Cette propriété peut être utilisée comme fil conducteur pour étendre progressivement la fonction $n\mapsto a^n$ à des valeurs de $n$ plus générales.

Pour commencer, voyons comment doit être défini “$a^0$” si on impose que la propriété soit vérifiée aussi pour $n=0$. On peut alors écrire $$a=a^1=a^{0+1}=a^0{a}^1=a^{0}a,$$ et comme $a>0$, on en déduit que $$a^0=1.$$

Si on souhaite ensuite définir “$a^n$” pour des entiers négatifs, en imposant encore que la propriété soit vérifiée, on peut écrire, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $$1=a^0=a^{n+(-n)}=a^n{a}^{-n},$$ d’où on tire $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$ On a maintenant une fonction, $$\begin{array}{rl}{\exp }_a:\mathbb{Z}& \to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\\ n& \mapsto {\exp }_a(n)=a^n\end{array}$$

La fonction exponentielle de base $a$ est une généralisation de cette notion, où l’entier $n$ peut être remplacée par un réel $x$ quelconque: $$\begin{array}{rl}{\exp }_a:\mathbb{R}& \to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\\ x& \mapsto {\exp }_a(x),\end{array}$$ que l’on note souvent “$a^x$” au lieu de “${\exp }_a(x)$”. Cette généralisation est faite de façon à ce que la propriété fondamentale soit préservée: $$a^{x+y}=a^x{a}^y,\forall x,y\in \mathbb{R}.$$ De plus, cette fonction est bijective:

Remarquons que $a^x$ est croissante si $a>1$, décroissante si $0<a<1$.

Étant bijective, la fonction exponentielle de base $a$ possède une réciproque, appelée logarithme de base$a$: $$\begin{array}{rl}{\log }_a:{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto {\log }_a(x).\end{array}$$ Par définition, $$\begin{array}{rl}{\log }_a({\exp }_a(x))& =x\forall x\in \mathbb{R},\\ {\exp }_a({\log }_a(y))& =y\forall y\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }.\end{array}$$ Sa propriété fondamentale est la suivante: pour tous $x,y\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $${\log }_a(xy)={\log }_a(x)+{\log }_a(y).$$

Remarquons que ${\log }_a(1)=0$, et que ${\log }_a$ est croissante si $a>1$, décroissante si $0<a<1$.

Si on connaît ${\log }_b(x)$, comment calculer ${\log }_a(x)$?
Nommons ces nombres:

• $y_1={\log }_a(x)$, qui est équivalent à $x=a^{y_1}$
• $y_2={\log }_b(x)$, qui est équivalent à $x=b^{y_2}$

On a alors $$a^{y_1}=b^{y_2},$$ et en prenant ${\log }_b(\cdot )$ des deux côtés, $$y_2=y_1{\log }_b(a).$$ On a donc la formule de changement de base: $${\log }_a(x)=\frac{{\log }_b(x)}{{\log }_b(a)}.$$ Cette formule fait qu’il suffit en général de choisir une base et de travailler avec; les logarithmes dans d’autres bases peuvent être obtenus à l’aide de cette formule.

Il existe une base pour laquelle les fonctions exponentielles et logarithme possèdent des propriétés supplémentaires, qui les rendent plus faciles à manipuler. La base en question est notée “$e$”, où $$e=2.718281828459045235360287471352662497\dots$$ Pour nous, ce nombre sera défini par la limite suivante (nous y reviendrons ici): $$e=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n.$$ Les exponentielles et logarithmes dans la base $e$ sont généralement notés comme suit: $$\begin{array}{rl}{\exp }_e(x)& \equiv \exp (x)=e^x,\\ {\log }_e(x)& \equiv \log (x).\end{array}$$ Le logarithme $\log (x)$ est appelé logarithme naturel (ou népérien). On trouve souvent la notation “$\ln (x)$”, que nous n’utiliserons pas ici.
Pour plus de détails historiques consulter l’article Histoire des logarithmes et des exponentielles (Wikipedia).