La fonction sinus, vue comme définie sur tout $\mathbb{R}$, $$\begin{array}{rl}\sin :\mathbb{R}& \to [-1,1]\\ x& \mapsto \sin (x),\end{array}$$ est surjective mais pas injective puisque périodique. On peut la rendre injective en restreignant son domaine. La restriction standard est de prendre $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$. Ainsi, $$\begin{array}{rl}\sin :[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]& \to [-1,1]\\ x& \mapsto \sin (x)\end{array}$$ est bijective.

Sa réciproque s’appelle l’arcsinus: $$\begin{array}{rl}\arcsin :[-1,1]& \to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\\ y& \mapsto \arcsin (y)\end{array}$$ Comme on sait, son graphe est celui du sinus, réfléchi à travers la diagonale du premier quadrant:

Par définition, $$\begin{array}{rl}\arcsin (\sin (x))& =x\forall x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],\\ \sin (\arcsin (x))& =x\forall x\in [-1,1].\end{array}$$

La fonction cosinus, vue comme définie sur tout $\mathbb{R}$, $$\begin{array}{rl}\cos :\mathbb{R}& \to [-1,1]\\ x& \mapsto \cos (x),\end{array}$$ est surjective mais pas injective puisque périodique. On peut la rendre injective en restreignant son domaine. La restriction standard est de prendre $[0,\pi ]$. Ainsi, $$\begin{array}{rl}\cos :[0,\pi ]& \to [-1,1]\\ x& \mapsto \cos (x)\end{array}$$ est bijective.

Sa réciproque s’appelle l’arccosinus: $$\begin{array}{rl}\arccos :[-1,1]& \to [0,\pi ]\\ y& \mapsto \arccos (y)\end{array}$$ Comme on sait, son graphe est celui du cosinus, réfléchi à travers la diagonale du premier quadrant:

Par définition, $$\begin{array}{rl}\arccos (\cos (x))& =x\forall x\in [0,\pi ],\\ \cos (\arccos (x))& =x\forall x\in [-1,1].\end{array}$$

La fonction tangente $$\begin{array}{rl}\tan :\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \tan (x),\end{array}$$ est surjective mais pas injective puisque périodique. On peut la rendre injective en restreignant son domaine. La restriction standard est de prendre $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$. Ainsi, $$\begin{array}{rl}\tan :\left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \tan (x)\end{array}$$ est bijective.

Sa réciproque s’appelle l’arctangente: $$\begin{array}{rl}\arctan :\mathbb{R}& \to ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[\\ y& \mapsto \arctan (y)\end{array}$$ Comme on sait, son graphe est celui de la tangente, réfléchi à travers la diagonale du premier quadrant:

Par définition, $$\begin{array}{rl}\arctan (\tan (x))& =x\forall x\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[,\\ \tan (\arctan (x))& =x\forall x\in \mathbb{R}.\end{array}$$