La mesure en degrés consiste à associer à l’angle total une mesure de $360$ degrés, les autres angles étant mesurés de façon proportionnelle:

La mesure en radians est plus naturelle d’un point de vue géométrique, puisqu’elle consiste à mesurer une longueur le long d’un arc de cercle. Si la longueur parcourue est égale au rayon, ceci définit un angle de un radian:

L’angle total correspond donc à la longueur de la circonférence d’un cercle de rayon $1$, à savoir $2\pi$. Quelques angles intermédiaires:

Soit un angle donné, dont la mesure en degrés est ${\alpha }_d$ et celle en radians est ${\alpha }_r$. Puisque $$\frac{{\alpha }_d}{360}=\frac{{\alpha }_r}{2\pi },$$ on a la formule de conversion: $${\alpha }_d=\frac{180}{\pi }{\alpha }_r.$$

Dans le cas où l’angle est total $\theta =2\pi$, ce secteur est un disque, et donc son aire est égale à $\pi r^2$. Or pour un secteur quelconque, la proportionnalité existant entre l’angle $\theta$ et l’angle total doit être la même que la proportionnalité existant entre l’aire $A$ du secteur et celle du disque: $$\frac{\theta }{2\pi }=\frac{A}{\pi r^2}.$$ On a donc $$\boxed{A=\frac{1}{2}{r}^2\theta }$$

Le côté $a$ est le cathète adjacent à$\alpha$, le côté $b$ est le cathète opposé à$\alpha$, et $c$ est l’hypothénuse.

Remarquons que l’on a toujours $$\tan (\alpha )=\frac{b}{a}=\frac{b/c}{a/c}=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}.$$

Considérons $\alpha =\frac{\pi }{4}$, que l’on peut représenter dans un triangle rectangle dont les deux cathètes sont de longueurs $1$, ce qui implique que son hypothénuse a pour longueur $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$:

On a donc directement: $$\begin{array}{rl}\sin (\frac{\pi }{4})& =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos (\frac{\pi }{4})& =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan (\frac{\pi }{4})& =\frac{1}{1}=1.\end{array}$$

Considérons ensuite $\alpha =\frac{\pi }{3}$, que l’on peut représenter comme un triangle rectangle égale à une moitié d’un triangle équilatéral de côté $1$ (dont les trois angles sont égaux à $\frac{\pi }{3}$):

Par Pythagore, le cathète opposé a longueur $l=\sqrt{1^2-({\frac{12}{)}}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. On en déduit: $$\begin{array}{rl}\sin (\frac{\pi }{3})& =\frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos (\frac{\pi }{3})& =\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\ \tan (\frac{\pi }{3})& =\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.\end{array}$$ Remarquons que l’autre angle non-droit de ce triangle vaut $\frac{\pi }{6}$, et donc on a aussi $$\begin{array}{rl}\sin (\frac{\pi }{6})& =\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\ \cos (\frac{\pi }{6})& =\frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan (\frac{\pi }{6})& =\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\end{array}$$

Nous l’avons dit plus haut, ce qui définit les fonctions trigonométriques sont des proportions (ici: des quotients de longueurs); elles ne dépendent pas du triangle utilisé pour les définir. On peut donc choisir de toujours les définir à partir d’un triangle dont l’hypothénuse est de longueur égale à $1$.
Or un triangle dont l’hypothénuse est de longueur $1$ peut être placé dans le plan cartésien, avec l’angle à l’origine, le cathète adjacent le long de l’axe $Ox$. Son sommet , noté $P$ sur l’image ci-dessous, est donc placé sur le cercle de rayon $1$ centré à l’origine, appelé cercle trigonométrique. Les trois nombres $\sin (\alpha )$, $\cos (\alpha )$ et $\tan (\alpha )$ peuvent alors être vus comme des longueurs (sur l’animation, faire varier $\alpha$ en déplaçant $P$):

L’utilisation du cercle trigonométrique permet de généraliser naturellement ces fonctions, en les définissant pour un angle quelconque $\alpha \in \mathbb{R}$ (à part la tangente, définie pour tout angle qui n’est pas de la forme $\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$).

Graphe de la fonction $\sin :\mathbb{R}\to [-1,1]$:

Graphe de la fonction $\cos :\mathbb{R}\to [-1,1]$:

Graphe de la fonction $\tan :\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}\to \mathbb{R}$:

Par exemple, sous la transformation $\alpha \mapsto \alpha +2\pi$, ces fonctions sont inchangées: $$\sin (\alpha +2\pi )=\sin (\alpha ),\cos (\alpha +2\pi )=\cos (\alpha ).$$ On a par contre que $$\tan (\alpha +\pi )=\tan (\alpha ),$$ on dit que la tangente est périodique, de période$\pi$.

Ensuite, sous la transformation $\alpha \mapsto \alpha +\pi$, $$\begin{array}{rl}\sin (\alpha +\pi )& =-\sin (\alpha )\\ \cos (\alpha +\pi )& =-\cos (\alpha )\\ \tan (\alpha +\pi )& =\tan (\alpha ),\end{array}$$ et sous $\alpha \mapsto \alpha +\frac{\pi }{2}$, $$\begin{array}{rl}\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})& =\cos (\alpha )\\ \cos (\alpha +\frac{\pi }{2})& =-\sin (\alpha )\\ \tan (\alpha +\frac{\pi }{2})& =\frac{-1}{\tan (\alpha )}.\end{array}$$

Sous la transformation $\alpha \mapsto \frac{\pi }{2}-\alpha$: $$\begin{array}{rl}\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )& =\cos (\alpha )\\ \cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )& =\sin (\alpha )\\ \tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )& =\frac{1}{\tan (\alpha )}.\end{array}$$ Enfin, $$\begin{array}{rl}\sin (-\alpha )& =-\sin (\alpha )\\ \cos (-\alpha )& =\cos (\alpha )\\ \tan (-\alpha )& =-\tan (\alpha )\end{array}$$

Les formules ci-dessus permettent de trouver des formules exactes pour des angles plus compliqués que les quelques angles remarquables mentionnés plus haut. En effet, si on sait par exemple que $\cos (\frac{\alpha }{2})⩾0$, et qu’on connaît $\cos (\alpha )$, on peut utiliser la formule ci-dessus comme suit: $$\cos (\frac{\alpha }{2})=+\sqrt{\frac{1+\cos (\alpha )}{2}}.$$