On définit ici les fonctions trigonométriques hyperboliques. Même si ces fonctions seront définies uniquement à partir de l’exponentielle, leurs propriétés rappelleront clairement celles des fonctions trigonométriques de base. En fin de section, on fera quelques commentaires sur l’origine du terme “hyperbolique”.

On peut voir la tangente hyperbolique comme étant définie par $$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}.$$ Un simple calcul mène à $$\cosh (x{)}^2-\sinh (x{)}^2=1,$$ qui entraîne $$1-{\tanh }^2(x)=\frac{1}{{\cosh }^2(x)}.$$

Puisque $e^x$ est dérivable, les fonctions hyperboliques sont dérivables (et continues) sur $\mathbb{R}$. De plus, $$\begin{array}{rl}(\sinh (x){)}^{\prime }& =\cosh (x)\\ (\cosh (x){)}^{\prime }& =\sinh (x)\\ (\tanh (x){)}^{\prime }& =1-{\tanh }^2(x)=\frac{1}{{\cosh }^2(x)}\end{array}$$ Par conséquent, $\sinh (x)$ est strictement croissante,

$\cosh (x)$ est décroissante sur $]-\infty ,0]$, croissante sur $[0,+\infty [$,

et $\tanh (x)$ est strictement croissante:

En prenant $y=x$, on a les formules $$\begin{array}{rl}\sinh (2x)& =2\sinh (x)\cosh (x),\\ \cosh (2x)& =2{\cosh }^2(x)-1=1+2{\sinh }^2(x)\\ \tanh (2x)& =\frac{2\tanh (x)}{1+{\tanh }^2(x)}\end{array}$$

Comme $\sinh :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est strictement croissante, continue, et puisque $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sinh (x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }\sinh (x)=+\infty ,$$ on en déduit qu’elle est bijective.

Sa réciproque se note À l’aide de la formule pour la dérivée d’une fonction réciproque, $$\begin{array}{rl}{\mathrm{argsinh}}^{\prime }(x)& =\frac{1}{\cosh (\mathrm{argsinh}(x))}\\ & =\frac{1}{{\sinh }^{\prime }(\mathrm{argsinh}(x))}\\ & =\frac{1}{\sqrt{1+{\sinh }^2(\mathrm{argsinh}(x))}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.\end{array}$$

Ensuite, puisque $\cosh$ est paire, on doit restreindre son domaine si on veut la rendre injective. Comme elle est strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$, $\cosh :{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ est injective. De plus, comme $\cosh (0)=1$ et $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\cosh (x)=+\infty ,$$ on conclut que $\cosh :{\mathbb{R}}_{+}\to [1,+\infty ]$ est bijective.

Sa réciproque se note On a donc, pour tout $x>1$, $$\begin{array}{rl}{\mathrm{argcosh}}^{\prime }(x)& =\frac{1}{\sinh (\mathrm{argcosh}(x))}\\ & =\frac{1}{\sqrt{\cosh (\mathrm{argcosh}(x){)}^2-1}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.\end{array}$$ On peut aussi exprimer explicitement la réciproque: pour tout $x\in [1,+\infty [$, $$\mathrm{argcosh}(x)=\log (x+\sqrt{x^2-1}).$$

Finalement, $\tanh$ étant strictement croissante, continue, et puisque $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\tanh (x)=-1,\underset{x\to +\infty }{\lim }\tanh (x)=+1,$$ on en conclut que $\tanh :\mathbb{R}\to ]-1,1[$ est bijective.
Sa réciproque se note avec $$\mathrm{argtanh}(x)=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$