Aucune des fonctions $$f(x)=\frac{1}{x}f(x)=\log |x|f(x)=\sin (\frac{1}{x^2+x})$$ n’est définie en $0$, mais toutes sont bien définies dans un voisinage épointé de $0$.

Considérons une fonction $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, telle que $$f(x)=\frac{x-1}{2}\forall x\ne 2.$$ Étudions cette fonction dans un voisinage épointé de $x_0=2$. Cela signifie que l’on ne s’intéresse qu’aux valeurs de $f(x)$ pour des réels $x$ proches de $2$, différents de $2$.
À première vue, si $x$ est proche de $2$ alors $x-1$ est proche de $1$, et donc $f(x)$ devrait être proche de $\frac{1}{2}$. On peut donc conjecturer que $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{1}{2}.$$ Pour commencer, étudions la différence $$|f(x)-\frac{1}{2}|=\left|\frac{x-1}{2}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{x-2}{2}\right|=\frac{1}{2}|x-2|.$$ Cette expression montre de façon assez transparente que $f(x)$ est proche de $\frac{1}{2}$ lorsque $x$ est proche de $2$, et permet maintenant d’implémenter la définition de limite.
Fixons $\epsilon >0$. Par l’identité écrite plus haut, on a $$|f(x)-\frac{1}{2}|⩽\epsilon$$ si et seulement si $$\frac{1}{2}|x-2|⩽\epsilon ,$$ c’est à dire $$|x-2|⩽2\epsilon .$$ Ainsi, si on définit $\delta :=2\epsilon$, on a bien $|f(x)-\frac{1}{2}|⩽\epsilon$ dès que $0<|x-2|⩽\delta$. Ceci montre ce qu’on voulait: $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{1}{2}.$$ Sur l’animation ci-dessous, choisir la valeur de $\epsilon$, et voir comment adapter $\delta$ pour garantir que tout $x\in [2-\delta ,2+\delta ]$ ait son image $f(x)\in [\frac{1}{2}-\epsilon ,\frac{1}{2}+\epsilon ]$: On observe que $\delta =2\epsilon$ est le “meilleur” $\delta$ possible .
Pour un autre exemple élémentaire traité en détails, cliquer ici (blackpenredpen).

Considérons $$f(x):=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2x+5}& \text{ si }x\ne 2,\\ \sqrt{2}& \text{ si }x=2,\end{array}$$ et montrons que $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{1}{3}.$$ Commençons par écrire la différence. Lorsque $x\ne 2$, $$|f(x)-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{2x+5}-\frac{1}{3}|=\frac{2}{3}\frac{|x-2|}{|2x+5|}.$$ De par la présence de “$|x-2|$” au numérateur, cette expression exprime bien que $|f(x)-\frac{1}{3}|$ sera proche de zéro lorsque $x$ sera proche de $2$. Mais pour rendre l’argument rigoureux il faut d’abord faire quelque chose pour ne plus avoir de “$x$” au dénominateur de la fraction. Nous allons donc travailler pour minorer le dénominateur par une quantité strictement positive, qui ne dépend pas de $x$.
Si on suppose par exemple que $x$ est à distance au plus $1$ de $2$, $|x-2|⩽1$ (c’est-à-dire $-1⩽x-2⩽1$), alors on peut écrire que $$2x+5=2(x-2+2)+5=2(x-2)+9⩾2(-1)+9=7,$$ qui implique en particulier que $$|f(x)-\frac{1}{3}|=\frac{2}{3}\frac{|x-2|}{2x+5}⩽\frac{2}{3}\frac{|x-2|}{7}=\frac{2}{21}|x-2|.$$Dorénavant, nous supposerons donc que $|x-2|⩽1$. Maintenant, fixons un $\epsilon >0$. L’inégalité que nous avons obtenue au-dessus dit que pour rendre $|f(x)-\frac{1}{3}|$ plus petit que $\epsilon$, il suffit de d’abord rendre $\frac{2}{21}|x-2|$ plus petit que $\epsilon$. Or $$\frac{2}{21}|x-2|⩽\epsilon ⟺|x-2|⩽\frac{21}{2}\epsilon .$$ Ainsi, si on définit $$\delta :=\min \{\frac{21}{2}\epsilon ,1\},$$ alors $0<|x-2|⩽\delta$ implique $|f(x)-\frac{1}{3}|⩽\epsilon$.

Considérons $$f(x):=e^{-\frac{1}{x^2}},$$ qui est bien définie partout, sauf en $x=0$. Montrons que $$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0.$$ Fixons donc un $\epsilon >0$, et montrons que l’on peut trouver un $\delta >0$ tel que $$|e^{-\frac{1}{x^2}}|⩽\epsilon \forall 0<|x|⩽\delta .$$ Pour cela, on remarque d’abord que, l’exponentielle étant toujours strictement positive, $|e^{-\frac{1}{x^2}}|=e^{-\frac{1}{x^2}}$. Or on peut résoudre l’inégalité $e^{-\frac{1}{x^2}}⩽\epsilon$ explicitement. D’abord, en prenant le $\log (\cdot )$ (qui est une fonction croissante) des deux côtés de l’inégalité, et en changeant le sens de l’inégalité: $$\frac{1}{x^2}⩾-\log (\epsilon ).$$ Cette dernière est toujours vraie si $\epsilon ⩾1$; dans ce cas on peut donc prendre n’importe quel $\delta$, par exemple $\delta =2$. Ensuite, considérons le cas où $0<\epsilon <1$. Dans ce cas, $\log (\epsilon )<0$, et donc $-\log (\epsilon )=|\log (\epsilon )|$. On a donc montré que $$|f(x)|⩽\epsilon \text{ si et seulement si }|x|⩽\frac{1}{\sqrt{|\log (\epsilon )|}}.$$ On peut donc conclure en prenant $$\delta :=\frac{1}{\sqrt{|\log (\epsilon )|}}.$$On voit, par ce calcul, que plus $\epsilon >0$ est choisi petit, plus $x$ doit être pris proche de $0$ pour que $|f(x)|⩽\epsilon$.

Montrons que la fonction $f(x)=\sin (\frac{1}{x})$ n’a pas de limite lorsque $x\to 0$. Pour ce faire, considérons deux suites qui tendent vers zéro.

• Pour la première, prenons $x_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}$, pour laquelle$$f(x_n)=\sin (\frac{1}{x_n})=\sin (\frac{\pi }{2}+2\pi n)=1\forall n$$
• Pour la deuxième, prenons $y_n=\frac{1}{\frac{3\pi }{2}+2\pi n}$, pour laquelle$$f(y_n)=\sin (\frac{1}{y_n})=\sin (\frac{3\pi }{2}+2\pi n)=-1\forall n$$

On a donc $x_n\to 0$ et $y_n\to 0$, mais $$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)\ne \underset{n\to \infty }{\lim }f(y_n).$$ Le théorème ci-dessus implique donc que la limite ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ n’existe pas.