On parle alors de limite latérale si les valeurs d’une fonction tendent vers une valeur lorsqu’on s’approche d’un point

x_{0}

en maintenant le signe de

x - x_{0}

constant:

Définition 7.3.

Soit

x_{0} \in R

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] x_{0}, x_{0} + α [$ ( $α > 0$ ). On dit que $f$ tend vers $L \in R$ lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ par la droite si pour tout $ε > 0$ il existe $δ > 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $0 < x - x_{0} ⩽ δ$ , c’est-à-dire $x_{0} < x ⩽ x_{0} + δ$ . On notera: $x \to x_{0}^{+} lim f (x) = L .$
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] x_{0} - α, x_{0} [$ ( $α > 0$ ). On dit que $f$ tend vers $L \in R$ lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ par la gauche si pour tout $ε > 0$ il existe $δ > 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $- δ ⩽ x - x_{0} < 0$ , c’est-à-dire $x_{0} - δ ⩽ x < x_{0}$ . On notera: $x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L .$

Donc une fonction peut par exemple posséder une limite latérale à droite en

x_{0}

, sans être du tout définie à gauche de

x_{0}

Exemple 7.7.

Par exemple,

f (x) = x

est définie seulement sur

R_{+} = [0, + \infty [

, et

x \to 0^{+} lim f (x) = 0 .

En effet, pour tout

ε > 0

, on a

∣ f (x) ∣ = x ⩽ ε

si et seulement si

x ⩽ ε^{2}

, et donc on peut prendre

δ := ε^{2}

Mais une fonction peut être définie de part et d’autre de

x_{0}

, et n’avoir qu’une seule limite latérale:

Exemple 7.8.

Considérons, sur

R^{*}

, la fonction

f (x) := ⎩ ⎨ ⎧ 1 - x^{2} π sin (1/ x) si x < 0, si x = 0, si x > 0 .

Alors

f

n’a pas de limite à droite en

x_{0} = 0

, comme on sait, mais

x \to 0^{-} lim f (x) = 1 .

Intuitivement, si les limites latérales en un point existent et sont égales, alors la vraie limite en ce point existe et prend la même valeur:

Théorème 7.2.

Soit

f

définie dans un voisinage épointé de

x_{0}

. Les deux affirmations ci-dessous sont équivalentes:

$x \to x_{0} lim f (x) = L$
$x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L$

Proof

Supposons que $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ , c’est-à-dire que pour tout $ε > 0$ il existe un $δ > 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ$ . Or $0 < x - x_{0} ⩽ δ$ et $- δ ⩽ x - x_{0} < 0$ impliquent évidemment $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ$ . Et donc $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L$
Maintenant, supposons que $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L$ , et fixons $ε > 0$ . On a d’une part l’existence d’un $δ_{-} > 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $- δ_{-} ⩽ x - x_{0} < 0$ , et d’autre part l’existence d’un $δ_{+} > 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $0 < x - x_{0} ⩽ δ_{+}$ . En prenant $δ := min {δ_{-}, δ_{+}}$ , on garantit que si $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ$ , alors $- δ_{-} ⩽ x - x_{0} < 0$ et $0 < x - x_{0} ⩽ δ_{+}$ , et donc dans tous les cas, $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ .

□

Il existe naturellement une version latérale du Théorème des deux gendarmes, ou du théorème sur l’équivalence avec les limites par des sous-suites, dans le cas des limites latérales.

Exemple 7.9.

Considérons

f (x) = x ⌊ \frac{1}{x} ⌋,

qui est bien définie en tout

x \neq = 0

. Pour calculer sa limite lorsque

x \to 0

, commençons par rappeler que par la définition de valeur entière,

\frac{1}{x} - 1 < ⌊ \frac{1}{x} ⌋ ⩽ \frac{1}{x}, \forall x \neq = 0 .

On utilise cette double inégalité pour étudier les limites latérales en zéro:

Si on la multiplie des deux côtés par $x > 0$ ,
Puisque $lim_{x \to 0^{+}} (1 - x) = 1$ , le Théorème des deux gendarmes (en version “latérale”) implique que
$x \to 0^{+} lim f (x) = 1 .$
Si on la multiplie des deux côtés par $x < 0$ ,
Puisque $lim_{x \to 0^{-}} (1 - x) = 1$ , le Théorème des deux gendarmes (en version “latérale”) implique que
$x \to 0^{-} lim f (x) = 1 .$

Puisque les limites larérales existent et sont égales,

x \to 0 lim f (x) = 1 .

Le théorème précédent est aussi utile pour montrer qu’une limite

x \to x_{0}

n’existe pas. Pour ce faire, on pourra

montrer qu’une des limites latérales, $x \to x_{0}^{+}$ ou $x \to x_{0}^{-}$ , n’existe pas, ou
montrer que les limites latérales $x \to x_{0}^{+}$ et $x \to x_{0}^{-}$ , existent mais ont des valeurs différentes.

Exemple 7.10.

Considérons

f (x) = \frac{∣ x ^{2} - 1∣}{x - 1},

et montrons que la limite

x \to 1 lim f (x)

n’existe pas.
D’abord, remarquons que

∣ x^{2} - 1∣ = ∣ x - 1∣ \cdot ∣ x + 1∣

. Ensuite, si

x

est proche de

1

, alors

∣ x + 1∣ = x + 1

, mais

∣ x - 1∣ = {+ (x - 1) - (x - 1) si x > 1, si x < 1 .

On peut donc facilement calculer les limites latérales:

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim \frac{- ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x \to 1^{-} lim - (x + 1) = - 2,

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x \to 1^{+} lim (x + 1) = 2,

Comme les limites latérales existent mais sont inégales, on conclut que

f (x)

n’a pas de limite lorsque

x \to 1

Quiz 7.4.1.Soit

f : R \to R

. Vrai ou faux?

Analyse I / GM

7.4 Limites latérales $x \to x_{0}^{\pm}$

7.4 Limites latérales x→x0±​

7.4 Limites latérales $x \to x_{0}^{\pm}$