Les limites les plus importantes (et les plus intéressantes aussi) sont les formes indéterminées, celles de la forme “

\frac{0}{0}

”, c’est-à-dire des limites de quotients de fonctions définies dans un voisinage de

x_{0}

x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )}, x \to x_{0}^{+} lim \frac{f ( x )}{g ( x )}, x \to x_{0}^{-} lim \frac{f ( x )}{g ( x )},

où

f

g

tendent toutes les deux vers zéro.

Dans cette section on rappelle quelques méthodes classiques utiles pour lever ce genre d’indétermination, en les illustrant sur des exemples standards. Il est clair que les techniques s’adaptent pour les trois types de limites.

7.6.1 Polynômes et factorisation

Exemple 7.12.

Considérons une limite d’un quotient de deux polynômes:

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} + 2 x - 3} = x \to 1 lim \frac{P ( x )}{M ( x )}

Par une propriété vue plus haut,

x \to 1 lim P (x) = P (1) = 0, x \to 1 lim M (x) = M (1) = 0,

et donc ce quotient mène à une indétermination de la forme “

\frac{0}{0}

”. Mais comme on sait, le fait que les

P (1) = 0

M (1) = 0

signifie que ces polynômes peuvent se factoriser par

(x - 1)

. En effectuant deux divisions, on obtient

P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 M (x) = x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x^{2} - x - 6), = (x - 1) (x + 3),

ce qui implique que le quotient considéré est en fait

\frac{P ( x )}{M ( x )} = \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} - x - 6 )}{( x - 1 ) ( x + 3 )} = \frac{x ^{2} - x - 6}{x + 3} = \frac{P ~ ( x )}{M ~ ( x )}

Et donc, puisque

\tilde{P} (1) = - 6

\tilde{M} (1) = 4 \neq = 0

, la limite à calculer n’est plus indéterminée:

x \to 1 lim \frac{P ( x )}{M ( x )} = x \to 1 lim \frac{P ~ ( x )}{M ~ ( x )} = \frac{- 6}{4} = - \frac{3}{2} .

7.6.2 La méthode du conjugué

La méthode du conjugué, que nous avons utilisée souvent dans l’étude des suites et des séries, est aussi utile pour les limites de fonctions.

Exemple 7.13.

Considérons la limite

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x},

dans laquelle le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers zéro lorsque

x \to 0

. En multipliant et divisant par le conjugué de la racine qui apparaît au numérateur,

\frac{1 + x - 1}{x} = \frac{1 + x - 1}{x} \cdot \frac{1 + x + 1}{1 + x + 1} = \frac{( 1 + x ) ^{2} - 1 ^{2}}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{x}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{1}{1 + x + 1} .

On a donc

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{1}{1 + x + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} .

Remarquons que parfois, le conjugué est utile dans des limites qui n’impliquent pas forcément des racines carrées (voir plus bas).

7.6.3 Limites de fonctions trigonométriques

Exemple 7.14.

Montrons que

x \to 0 lim \frac{sin ( x )}{x} = 1

D’abord, puisque

f (x) := \frac{s i n ( x )}{x}

(définie sur

R^{*}

) est paire , il suffit de montrer que

x \to 0^{+} lim \frac{sin ( x )}{x} = 1 .

Mais, par l’équivalence via les suites, cette dernière est équivalente à la validité, pour toute suite

x_{n} > 0

x_{n} \to 0

, de

n \to \infty lim \frac{sin ( x _{n} )}{x _{n}} = 1 .

Or cette propriété a déjà été démontrée dans le chapitre sur les suites.

Exemple 7.15.

Montrons que

x \to 0 lim \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}} = 12 .

En multipliant et divisant par le conjugué de la différence

1 - cos (x)

x \to 0 lim \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}} \cdot \frac{1 + cos ( x )}{1 + cos ( x )} = x \to 0 lim \frac{1 - cos ( x ) ^{2}}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + cos ( x )} = x \to 0 lim (\frac{sin ( x )}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + cos ( x )} = 1^{2} \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} .

7.6.4 Limites de fonctions exp/log

Informel 7.3.Attention: Nous allons donner les valeurs de quelques limites impliquant des exponentielles et des logarithmes. Or comme dit au tout début de ce cours, les fonctions

e^{x}

lo g (x)

, qui sont réciproques l’une de l’autre, ainsi que leurs propriétés, sont supposées connues: nous ne les avons pas introduites rigoureusement. Donc les preuves données ci-dessous ne sont pas entièrement rigoureuses; des résultats que nous présenterons plus tard viendront compléter cette analyse.

Exemple 7.16.

Montrons que

x \to 0 lim \frac{lo g ( 1 + x )}{x} = 1 .

Pour ce faire, nous allons calculer la limite le long de la suite

x_{n} = \frac{1}{n}

, qui est

> 0

, et

x_{n} \to 0

. Pour un

n

fixé, on peut écrire

\frac{lo g ( 1 + x _{n} )}{x _{n}} = n lo g (1 + \frac{1}{n}) = lo g (1 + \frac{1}{n})^{n}

Puisque

(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e

, on a

n \to \infty lim \frac{lo g ( 1 + x _{n} )}{x _{n}} = n \to \infty lim lo g (1 + \frac{1}{n})^{n} = lo g (e) = 1 .

Exemple 7.17.

Montrons que

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1 .

Posons pour un instant

y := e^{x} - 1

, c’est-à-dire

x = lo g (1 + y)

. Lorsque

x \to 0

, on a aussi

y \to 0

, donc la limite devient

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = y \to 0 lim \frac{y}{lo g ( 1 + y )} = \frac{1}{lim _{y \to 0} \frac{l o g ( 1 + y )}{y}} = 1 .

Analyse I / GM

7.6 Quelques indéterminations “ $\frac{0}{0}$ ”

7.6.1 Polynômes et factorisation

7.6.2 La méthode du conjugué

7.6.3 Limites de fonctions trigonométriques

7.6.4 Limites de fonctions exp/log

7.6 Quelques indéterminations “00​”

7.6.1 Polynômes et factorisation

7.6.2 La méthode du conjugué

7.6.3 Limites de fonctions trigonométriques

7.6.4 Limites de fonctions exp/log

7.6 Quelques indéterminations “ $\frac{0}{0}$ ”