Analyse I / GM
Botafogo timeline-AN-2023 Ouvrir dans un onglet
6.2 Monotonie
Une première propriété très particulière qu’une fonction peut posséder est celle d’être monotone.
Définition 6.1.
I⊂R un intervalle et soit f:I→R.
- f est croissante sur I si f(x1)⩽f(x2) pour tout x1,x2∈I, x1<x2.
- f est strictement croissante sur I si f(x1)<f(x2) pour tout x1,x2∈I, x1<x2.
- f est décroissante sur I si f(x1)⩾f(x2) pour tout x1,x2∈I, x1<x2.
- f est strictement décroissante sur I si f(x1)>f(x2) pour tout x1,x2∈I, x1<x2.
Exemple 6.1.
La fonction f(x)=x2 est strictement croissante sur R+. En effet, si 0⩽x1<x2, alors x2−x1>0, et donc f(x2)−f(x1)=x22−x12=>0(x2−x1)>0(x2+x1)>0, ce qui implique que f(x1)<f(x2). De même, on montre que f(x)=x2 est strictement décroissante sur R−.
Exemple 6.2.
Par notre définition, une fonction qui est constante sur I (c.à-d. qu’il existe un réel C tel que f(x)=C pour tout x∈I) est à la fois croissante et décroissante sur I.
6.2.1 Variation
Étudier la variation d’une fonction, c’est trouver les intervalles sur lesquelles elle est croissante/décroissante.
L’étude de la variation d’une fonction donnée, basée uniquement sur la définition de cette fonction (comme x2 dans l’exemple ci-dessus), peut être difficile. Le calcul différentiel, que nous développerons plus loin, fournira un outil puissant permettant de faire cette analyse.
L’étude de la variation d’une fonction donnée, basée uniquement sur la définition de cette fonction (comme x2 dans l’exemple ci-dessus), peut être difficile. Le calcul différentiel, que nous développerons plus loin, fournira un outil puissant permettant de faire cette analyse.
Quiz 6.2.1.Soit I⊂R un intervalle, et f:I→R. Vrai ou faux?
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