Une autre propriété qu’une fonction peut posséder est par rapport à son comportement vis-à-vis de la transformation

x \mapsto - x

Ci-dessous, on considère des fonctions dont le domaine

D \subset R

est symétrique c’est-à-dire que si

x \in D

, alors

- x \in D

Définition 6.2.

f : D \to R

est dite paire si

f (- x) = f (x) \forall x \in D .

Si le point

(x, y) = (x, f (x))

appartient au graphe de

f

, alors le point

(- x, f (- x)) = (- x, f (x)) = (- x, y)

appartient aussi au graphe de

f

. On conclut que le graphe d’une fonction paire est invariant sous l’effet d’une réflexion par rapport à l’axe $O y$ .

Définition 6.3.

f : D \to R

est dite impaire si

f (- x) = - f (x) \forall x \in D .

Si le point

(x, y) = (x, f (x))

appartient au graphe, alors le point

(- x, f (- x)) = (- x, - f (x)) = (- x, - y)

appartient aussi graphe de

f

. Donc le graphe d’une fonction impaire est invariant sous une rotation de $18 0^{o}$ autour de l’origine:

Exemple 6.3.

Décrivons l’exemple qui est à l’origine de la dénomination de fonction “paire” ou “impaire”. Pour un entier

p \in Z

, la fonction

f (x) = x^{p}

est

paire si $p$ est pair,
impaire si $p$ est impair.

Remarquons que si

p

est négatif, alors

0

ne fait pas partie du domaine de

f

Exemple 6.4.

Sur

D = R

x \mapsto cos (x)

est paire,

x \mapsto sin (x)

est impaire,

Sur

D = R ∖ {\frac{π}{2} + k π : k \in Z}

x \mapsto tan (x)

est impaire:

En effet,

tan (- x) = \frac{sin ( - x )}{cos ( - x )} = \frac{- sin ( x )}{cos ( x )} = - tan (x) .

Exemple 6.5.

Montrons que la fonction

f : R^{*} \to R

définie par

f (x) = \frac{sin ( 2 x )}{e ^{x} - e ^{- x}}

est paire. En effet, pour tout

x \in R^{*}

f (- x) = \frac{sin ( 2 ( - x ))}{e ^{- x} - e ^{- (- x)}} = \frac{- sin ( 2 x )}{- ( e ^{x} - e ^{- x} )} = \frac{sin ( 2 x )}{e ^{x} - e ^{- x}} = f (x) .

Pour montrer qu’une fonction n’est pas paire (resp. pas impaire), il suffit de trouver un point

x_{*}

de son domaine où

f (- x_{*}) \neq = f (x_{*})

(resp.

f (- x_{*}) \neq = - f (x_{*})

Exemple 6.6.

Considérons, sur

R

, la fonction

f (x) = x + 1

. On remarque que

f (- 1) = 0

f (1) = 2

, et donc

f (- 1) \neq = f (1)

, et donc

f

n’est pas paire. Et comme

f (- 1) \neq = - f (1)

f

n’est pas impaire non plus.

Une fonction, en général, n’a pas de raison d’être paire ou impaire; pourtant toute fonction contient un peu d’une fonction paire, et un peu d’une fonction impaire:

Lemme 6.1.

D

est symétrique, toute fonction

f : D \to R

peut s’écrire, de manière unique, comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Exemple 6.7.

Sur

R

f (x) = e^{x}

n’est ni paire ni impaire, mais on peut quand-même l’écrire

e^{x} = p (x) + i (x)

, où

p (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = cosh (x)

est paire, et

i (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = sinh (x)

est impaire. (Pour les fonctions hyperboliques, voir ici.)

Quiz 6.3.1.Soit

f

une fonction dont le domaine

D

est symétrique et contient l’origine. Vrai ou faux?

Analyse I / GM

6.3 Parité