$f(x)=\tan (x)$ (sur son domaine) est $\pi$-périodique car $$\tan (x+\pi )=\frac{\sin (x+\pi )}{\cos (x+\pi )}=\frac{-\sin (x)}{-\cos (x)}=\tan (x).$$

Considérons une fonction constante: $f(x)=C$. On a bien $f(x+t)=f(x)$ pour tout $x$ et tout $t>0$, donc $f$ est $t$-périodique pour tout $t>0$. Mais comme il n’existe pas de plus petit $t$ strictement positif avec cette propriété, la fonction n’a pas de “période” à proprement parler.

Considérons la fonction $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ si }x\in \mathbb{Q},\\ 0& \text{ si }x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.\end{array}$$ Montrons que si $t\in \mathbb{Q}$ est un rationnel quelconque, alors $f$ est $t$-périodique. En effet, prenons un $x\in \mathbb{R}$ quelconque. Si $x\in \mathbb{Q}$, alors $f(x)=1$, et comme $x+t\in \mathbb{Q}$, on a aussi $f(x+t)=1$. Si $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, alors $f(x)=0$, et comme $x+t\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, on a aussi $f(x+t)=0$. Dans tous les cas, $f(x+t)=f(x)$.
Ici aussi, comme il n’existe pas de “plus petit rationnel $t>0$”, $f$ n’a pas de période.

$f(x)=\sin (2\pi x)$ est périodique, de période $T_f=1$, et $g(x)=\sin (\sqrt{2}\pi x)$ est périodique, de période $T_g=\sqrt{2}$. Par contre, $f+g$ n’est pas périodique, puisque $\sqrt{2}$ étant irrationnel, aucun multiple de $T_g$ ne coïncidera avec un multiple de $T_f$.

La fonction $f(x)={\sin }^2(x)$ a pour période $T_f=\pi$, et $g(x)=\cos (3x)$ a pour période $T_g=\frac{2\pi }{3}$. Comme $$\frac{T_f}{T_g}=\frac{3}{2}\in \mathbb{Q},$$ on conclut par le lemme que $f+g$ et $f-g$ sont périodiques. Mais comment calculer les périodes de ces fonctions? En cherchant le plus petit multiple commun entre les périodes de $f$ et $g$: $$T_{f\pm g}=\mathrm{ppmc}(T_f,T_g)=2\pi .$$