Considérons $G=]0,1[$. Si on fixe un $x\in G$ quelconque, alors en prenant un nombre $\epsilon >0$ qui est à la fois plus petit que $|x|$ (distance de $x$ à l’extrémité gauche de l’intervalle) et que $|x-1|$ (distance de $x$ à l’extrémité droite de l’intervalle), alors l’intervalle $]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ est entièrement contenu dans $G$. Clairement, le choix du $\epsilon$ dépend de où se trouve $x$: plus $x$ est proche du bord, plus $\epsilon$ doit être pris petit. L’essentiel est que pour tout $x\in G$, on trouve toujours un $\epsilon >0$ tel que $]x-\epsilon ,x+\epsilon [\subset G$. (Sur l’animation ci-dessous, on a épaissi un peu pour y voir quelque chose.)

$G=\{x\in \mathbb{R}:x^2<2\}$ est ouvert (voir exercices)

Considérons $G=[a,b]$. Cet ensemble n’est pas ouvert, puisque quel que soit la valeur de $\epsilon >0$, l’intervalle $]a-\epsilon ,a+\epsilon [$ contient des points qui ne sont pas dans $G$ (utilisez l’animation ci-dessus pour l’apprécier!). De plus, puisque son complémentaire est $$G^c=[a,b{]}^c=]-\infty ,a[\cup ]b,+\infty [,$$ qui est une union d’ouverts, $G^c$ un ouvert. Donc $G$ est fermé.

Si $a<b$, alors $I=[a,b[$ n’est ni ouvert ni fermé. En effet,

• $I$ n’est pas ouvert, car si on prend $x=a$, alors il n’existe aucun $\epsilon >0$ tel que $]x-\epsilon ,x+\epsilon [\subset I$.
• $I$ n’est pas fermé non plus, parce que son complémentaire est $I^c=]-\infty ,a[\cup [b,+\infty [$, et si on prend cette fois $x^{\prime }=b$, alors il n’existe aucun $\epsilon >0$ tel que $]x^{\prime }-\epsilon ,x^{\prime }+\epsilon [\subset I^c$.

$\mathbb{Q}$ n’est ni ouvert ni fermé.

• $\mathbb{Q}$ n’est pas ouvert. En effet, fixons un $r\in \mathbb{Q}$. On a dit plus haut que les irrationnels sont denses dans $\mathbb{R}$, donc quel que soit $\epsilon >0$, l’intervalle $]r-\epsilon ,r+\epsilon [$ contient toujours un irrationnel. Donc il n’existe aucun $\epsilon >0$ tel que $]r-\epsilon ,r+\epsilon [\subset \mathbb{Q}$.
• $\mathbb{Q}$ n’est pas fermé. En effet, son complémentaire est l’ensemble de tous les irrationnels, et n’est pas ouvert non plus: puisque les rationnels sont denses dans $\mathbb{R}$, pour tout irrationnel $y$, un intervalle $]y-\epsilon ,y+\epsilon [$ contient toujours un rationnel, quel que soit $\epsilon >0$.