Informel 3.12.Supposons qu’à l’aide d’un stylo bleu, on place une infinité de points, un à un, dans un intervalle

[a, b]

Le Théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que peu importe comment on choisit ces points, il existe forcément un point de l’intervalle proche duquel vont s’accumuler une infinité de points bleus.

Pour énoncer le théorème rigoureusement, il nous faut un peu de terminologie:

Définition 3.8.

Soit

(x_{n})_{n ⩾ 0}

une suite, et

0 ⩽ n_{0} < n_{1} < n_{2} < \dots

une suite d’entiers, strictement croissante. Si on pose

b_{k} := x_{n_{k}},

la suite

(b_{k})_{k ⩾ 0} = (x_{n_{k}})_{k ⩾ 0}

est appelée sous-suite de

(x_{n})_{n ⩾ 0}

Une sous-suite s’obtient donc à partir de

(x_{n})_{n ⩾ 0}

en ne gardant que certains termes, et en ignorant tous ceux dont l’indice est entre deux entiers consécutifs de la suite

(n_{k})_{k ⩾ 0}

En choisissant les entiers

n_{k}

et en considérant

(x_{n_{k}})_{k}

, on dit qu’on a extrait une sous-suite de

(x_{n})_{n}

Exemple 3.41.

Considérons la suite

(x_{n})_{n ⩾ 0}

définie par

x_{n} = sin (n \frac{π}{4}) .

On comprend cette suite en plaçant l’angle

n \frac{π}{4}

sur le cercle trigonométrique et en regardant son sinus évoluer sur l’axe

O y

. Ses premiers termes, en partant de

n = 0

, sont

0, \frac{2}{2}, 1, \frac{2}{2}, 0, - \frac{2}{2}, - 1, - \frac{2}{2}, 0 .

Si on considère les indices pairs, à savoir $n_{k} = 2 k$ ,
alors $(x_{n_{k}})_{k ⩾ 0}$ est la suite $0, 1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, \dots$
Si on considère les entiers multiples de $4$ , $n_{k} = 4 k$ ,
alors $(x_{n_{k}})_{k ⩾ 0}$ est une suite constante puisque $x_{n_{k}} = x_{4 k} = sin (k π) = 0$ pour tout $k$ .

Ces deux exemples ont proposé des sous-suites le long desquelles on observait une certaine régularité, mais on peut considérer des sous-suites arbitraires, par exemple celle obtenue en prenant

n_{k} = k^{2} + [k]

, pour lesquelles on n’observe en général aucune régularité particulière.

Théorème 3.10.

(Théorème de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée

(x_{n})_{n}

on peut extraire une sous-suite convergente. Plus précisément: Si

x_{n} \in [a, b]

pour tout

n

, alors il existe

L \in [a, b]

et une sous-suite

(x_{n_{k}})_{k}

telle que

x_{n_{k}} \to L

Proof

Soit

L := lim sup_{n \to \infty} x_{n}

, c’est-à-dire

L = n \to \infty lim M_{n},

où

M_{n} = sup {x_{n}, x_{n + 1}, \dots}

. Considérons une suite

(ε_{j})_{j ⩾ 1}

positive, tendant vers zéro. (Pour fixer les idées, on peut choisir

ε_{j} := \frac{1}{j}

$j = 1$ : Par définition de la limite, il existe $n_{1}^{'}$ tel que
$L - \frac{ϵ _{1}}{2} ⩽ M_{n_{1}^{'}} ⩽ L + \frac{ϵ _{1}}{2} .$
Par définition du supremum, il existe $n_{1} ⩾ n_{1}^{'}$ tel que
$L - ε_{1} ⩽ x_{n_{1}} ⩽ L + ε_{1} .$
$j = 2$ : Par définition de la limite, il existe $n_{2}^{'} > n_{1}$ tel que
$L - \frac{ϵ _{2}}{2} ⩽ M_{n_{2}^{'}} ⩽ L + \frac{ϵ _{2}}{2} .$
Par définition du supremum, il existe $n_{2} ⩾ n_{2}^{'}$ tel que
$L - ε_{2} ⩽ x_{n_{2}} ⩽ L + ε_{2} .$
etc.

Ainsi, on a construit une suite

(n_{k})

strictement croissante telle que pour tout

k

L - ε_{k} ⩽ x_{n_{k}} ⩽ L + ε_{k} .

Ceci signifie bien que

x_{n_{k}} \to L

□

Exemple 3.42.

Considérons la suite

(x_{n})_{n ⩾ 0}

définie par

x_{n} = cos (e^{3 n} + e^{n^{2}} sin (5 n^{3})) .

Puisque

x_{n} \in [- 1, 1]

pour tout

n

, le théorème garantit l’existence d’un réel

L \in [- 1, 1]

et d’une sous suite

(x_{n_{k}})_{k}

telle que

x_{n_{k}} \to L

lorsque

k \to \infty

Voyons un exemple simple dans lequel la sous-suite peut être donnée explicitement.

Exemple 3.43.

Considérons la suite

(x_{n})_{n ⩾ 0}

définie par

x_{n} = (- 1)^{n} \frac{n}{n + 1},

qui est bornée puisque

∣ x_{n} ∣ = \frac{n}{n + 1} ⩽ 1

. Cette suite ne converge pas, mais le théorème garantit l’existence d’une sous-suite convergente. Ici, on peut extraire explicitement deux sous-suites convergentes, assez naturellement:

Si on ne regarde que les indices pairs, c’est-à-dire que l’on considère $n_{k} = 2 k$ , alors on obtient la sous-suite
$x_{2 k} = \frac{2 k}{2 k + 1},$
qui converge vers $1$ lorsque $k \to \infty$ .
Si on ne regarde que les indices impairs, c’est-à-dire que l’on considère $n_{k} = 2 k + 1$ , alors on obtient la sous-suite
$x_{2 k + 1} = - \frac{2 k + 1}{2 k + 2},$
qui converge vers $- 1$ lorsque $k \to \infty$ .

Donc dans cet exemple, on peut extraire de la suite deux sous-suites différentes, qui ont des limites différentes:

Pour finir, remarquons qu’en général, la conclusion du théorème n’est plus vraie si la suite n’est pas bornée:

Exemple 3.44.

La suite

x_{n} = n

n’est pas bornée, et elle ne possède aucune sous-suite convergente.

Analyse I / GM

3.12 Le Théorème de Bolzano-Weierstrass