Remarquons que si une suite $(a_n)$ converge, alors la distance entre deux de ses éléments consécutifs tend vers zéro: $$|a_{n+1}-a_n|\to 0\text{ lorsque }n\to \infty .$$ En effet, si ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$, on peut écrire $$\begin{array}{rl}|a_{n+1}-a_n|& =|(a_{n+1}-L)-(a_n-L)|\\ & ⩽\underset{\to 0\text{ quand }n\to \infty }{\underbrace{|a_{n+1}-L|}}+\underset{\to 0\text{ quand }n\to \infty }{\underbrace{|a_n-L|}}.\end{array}$$ Mais on peut en fait en dire un peu plus: la distance entre deux de ses éléments quelconques tend vers zéro à mesure que leurs indices grandissent. $$|a_m-a_n|\to 0\text{ lorsque }m,n\to \infty .$$ En effet, on peut toujours écrire $$\begin{array}{rl}|a_m-a_n|& =|(a_m-L)+(L-a_n)|\\ & ⩽\underset{\to 0\text{ quand }m\to \infty }{\underbrace{|a_m-L|}}+\underset{\to 0\text{ quand }n\to \infty }{\underbrace{|a_n-L|}}.\end{array}$$ Cette propriété porte un nom:

Le fait que dans $\mathbb{R}$, toute suite de Cauchy et convergente est une des propriétés centrales des réels; ici, c’est une conséquence (pas directe, certes) de l’Axiome qui garantit que dans $\mathbb{R}$ tout ensemble non-vide majoré possède un supremum. Et en fait, on peut même montrer que la convergence des suites de Cauchy est équivalente à l’existence du supremum.
Il est important de souligner que cette équivalence n’a pas lieu dans les rationnels. En effet, on peut introduire la même notion de suite de Cauchy dans $\mathbb{Q}$, et montrer que toute suite convergente $a_n\in \mathbb{Q}$ est une suite de Cauchy. Par contre, il existe des suites de Cauchy dans $\mathbb{Q}$qui ne convergent pas dans $\mathbb{Q}$. Par exemple, la suite $$a_n:=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}$$ est une suite de rationnels (puisque $a_n$ est une somme finie de rationnels), et on peut montrer comme ci-dessus que c’est une suite de Cauchy, et donc qu’elle converge.
Par contre, on peut montrer que la limite de $a_n$ est $e=2.718\dots$, qui est irrationnel (voir la preuve donnée plus loin dans cette section, ou cette vidéo (Numberphile), ou encore celle-ci (Michael Penn)). Donc $(a_n)$ est une suite de Cauchy (de rationnels), qui converge dans $\mathbb{R}$ mais pas dans $\mathbb{Q}$.
On dit que $\mathbb{R}$ est un corps complet (car toute suite de Cauchy converge), alors que $\mathbb{Q}$ est aussi un corps, mais qui n’est pas complet.