“Every big number has a bigger one waiting ”

3.1.1 Définition

Définition 3.1.

Une suite est une famille infinie ordonnée de réels, indexée par des entiers:

a_{n_{0}}, a_{n_{0} + 1}, a_{n_{0} + 2}, \dots

On utilisera la notation compacte suivante:

(a_{n})_{n ⩾ n_{0}}

Une suite peut commencer par un indice

n_{0}

quelconque, mais le plus souvent on considérera

n_{0} = 0

n_{0} = 1

. Quand le premier indice n’importe pas ou peu (ce qui sera le cas lorsqu’on étudiera le comportement de

a_{n}

pour des indices

n

grands), on écrira parfois

(a_{n})

au lieu de

(a_{n})_{n ⩾ n_{0}}

3.1.2 Représentations

On se représente en général une suite

(a_{n})_{n ⩾ 1}

de deux façons.

La façon la plus simple est de la représenter simplement comme un ensemble de points sur la droite,

{a_{1}, a_{2}, \dots} \subset R

Du fait que cet ensemble est ordonné, cette image peut aussi s’interpréter comme une trajectoire: une particule est au point

a_{1}

au temps

n = 1

, puis au point

a_{2}

au temps

n = 2

, etc.

Mais une façon plus intuitive de se représenter une suite est de la voir comme le graphe d’une fonction

f : N^{*} n \to R \mapsto f (n) := a_{n} .

Ceci revient à représenter les paires de points

(n, f (n)) = (n, a_{n})

dans le plan cartésien:

3.1.3 Exemples

Souvent, une suite est définie simplement en disant comment le

n

-ème terme

a_{n}

se calcule explicitement en fonction de l’indice

n

. Lorsqu’une suite est définie ainsi, chaque terme peut être calculé directement, indépendamment des autres, à l’aide d’une formule.

Exemple 3.1.

Soit

(a_{n})_{n ⩾ 1}

la suite définie ainsi: pour chaque

n ⩾ 1

a_{n} = \frac{3 n ^{3} + n - 5}{5 n ^{2} + 7} .

Dans cet exemple,

a_{1 0^{'} 000}

peut se calculer directement, sans avoir forcément besoin de calculer les autres.

Exemple 3.2.

Soit

(a_{n})_{n ⩾ 0}

, définie ainsi:

a_{0} = \frac{1}{3}

, puis pour tout

n ⩾ 1

a_{n} = 4 a_{n - 1} (1 - a_{n - 1}) .

Cette suite est définie par récurrence: à part le premier, chaque terme est défini en fonction du précédent. Donc on ne peut calculer

a_{1 0^{'} 000}

que si on a déjà calculé

a_{9^{'} 999}

a_{9^{'} 998}

, etc. Ce type de suite sera étudié dans un chapitre à part.

On peut définir une suite de façon tout à fait arbitraire, ce qui mène rapidement à des suites difficiles à étudier:

Exemple 3.3.

Considérons l’expansion décimale du nombre

π

π = 3.1415926535897932384626433 \dots,

et définissons la suite

(a_{n})_{n ⩾ 1}

, comme suit:

a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 1, a_{4} = 5, a_{5} = 9, a_{6} = 2, \dots

Plus précisément:

a_{n}

est l’entier représentant le

n

-ème chiffre après la virgule dans l’expansion décimale de

π

. Une suite facile à définir, mais très difficile à étudier...

Informel 3.1.Donc plus tard, quand on dira “soit

(a_{n})

une suite”, il faudra garder à l’esprit que cela signifie que chacun de ses terme est bien défini, mais qu’un terme n’a pas forcément de lien avec les autres.

3.1.4 Suites majorées, minorées, bornées

Une propriété simplificatrice, pour une suite, est que ses termes ne soient globalement pas trop grands:

Définition 3.2.

Une suite

(a_{n})

est

majorée si il existe une constante $M$ telle que $a_{n} ⩽ M$ pour tout $n$ ,
minorée si il existe une constante $m$ telle que $a_{n} ⩾ m$ pour tout $n$ ,
bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Informel 3.2.Une suite bornée est une suite qui “vit” dans un intervalle, dans le sens où on peut trouver deux nombres finis

m < M

tels que

a_{n} \in [m, M] \forall n .

Exemple 3.4.

Considérons la suite

a_{n} = 1 - n^{2}, n ⩾ 0 .

Alors

(a_{n})_{n ⩾ 0}

est majorée. En effet,

n^{2} ⩾ 0

pour tout

n

, et donc

a_{n} = 1 - n^{2} ⩽ 1, \forall n ⩾ 0 .

et donc en prenant

M = 1

, on a

a_{n} ⩽ M

pour tout

n

Par contre,

a_{n}

n’est pas minorée (et donc pas bornée). En effet, montrons que pour toute constante

m

, il existe un indice

n

tel que

a_{n} < m

. Ceci est vrai lorsque

m ⩾ 0

puisque

a_{n} ⩽ 0

dès que

n ⩾ 1

. Si maintenant

m < 0

, alors

a_{n} = 1 - n^{2} < m

si et seulement si

n > 1 - m

(on a simplement résolu l’inéquation). Donc en prenant n’importe quel entier

n

plus grand que

1 - m

, on a bien que

a_{n} < m

. Ceci montre qu’il n’existe aucun minorant pour cette suite.

Exemple 3.5.

Considérons la suite

a_{n} = 2 sin (5 n + 1) - 3 cos (n), n ⩾ 0 .

Puisque

∣ a_{n} ∣ = 2 sin (5 n + 1) - 3 cos (n) ⩽ ∣2 sin (5 n + 1) ∣ + ∣ - 3 cos (n) ∣ = 2∣ sin (5 n + 1) ∣ + 3∣ cos (n) ∣ ⩽ 2 + 3 = 5,

la suite est bornée:

- 5 ⩽ a_{n} ⩽ + 5, \forall n .

Exemple 3.6.

La suite

(a_{n})_{n ⩾ 1}

, où

a_{n} := n

ème chiffre de l’expansion décimale de

π

en base

10

, est bornée, car minorée par

0

, et majorée par

9

Exemple 3.7.

La suite

a_{n} = (- 1)^{n} n

n’est pas majorée. En effet, fixons un seuil

M > 0

(sous-entendu: aussi grand que l’on veut), et prenons un entier pair

n = 2 k

quelconque, tel que

k > M /2

. On a alors

a_{n} = a_{2 k} = (- 1)^{2 k} 2 k = 2 k > M .

Cette suite n’est pas minorée non plus. En effet, fixons un seuil

m < 0

(sous-entendu: aussi grand que l’on veut, négatif), et prenons un entier impair

n = 2 k + 1

quelconque, tel que

k > - (m - 1) /2

. On a alors

a_{n} = a_{2 k + 1} = (- 1)^{2 k + 1} (2 k + 1) = - (2 k + 1) < m .

3.1.5 Suites monotones

Définition 3.3.

Une suite

(a_{n})

est

croissante si $a_{n} ⩽ a_{n + 1}$ pour tout $n$ ,
strictement croissante si $a_{n} < a_{n + 1}$ pour tout $n$ ,
décroissante si $a_{n} ⩾ a_{n + 1}$ pour tout $n$ ,
strictement décroissante si $a_{n} > a_{n + 1}$ pour tout $n$ .

(a_{n})

satisfait une de ces propriétés, elle est dite monotone.

Exemple 3.8.

La suite

a_{n} = n^{2}

n ⩾ 0

, est strictement croissante puisque

a_{n + 1} = (n + 1)^{2} = n^{2} + > 0 2 n + 1 > n^{2} = a_{n} .

Exemple 3.9.

La suite harmonique

a_{n} = \frac{1}{n}

n ⩾ 1

, est strictement décroissante puisque

a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} = a_{n}

Exemple 3.10.

Considérons la suite

a_{n} = \frac{n}{n + 1}

On peut écrire

a_{n} = \frac{n}{n + 1} = \frac{( n + 1 ) - 1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1},

ce qui implique, puisque

2 > 1

a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 2} > 1 - \frac{1}{n + 1} = a_{n},

et donc que

(a_{n})

est croissante.

3.1.6 Pourquoi étudier les suites?

Les résultats que nous allons présenter dans les prochaines sections au sujet des suites seront d’importance capitale pour toute la suite de ce cours. En effet, l’étude des suites représente la porte d’entrée par laquelle plusieurs des difficultés de l’analyse sont abordées, de façon aussi élémentaire que possible. En particulier, on y discutera pour la première fois de la notion de limite, dans la section suivante, notion essentielle dans l’étude d’une fonction au voisinage d’un point.

Informel 3.3.Si on souhaite aborder quelques-unes des principales difficultés liées aux suites et à l’analyse, de manière informelle, en évitant le langage mathématique (qui est souvent responsable du blocage des novices), on pourra consulter le texte suivant: Le marchand de billes (billes.pdf).

Quiz 3.1.1.Vrai ou faux?

Quiz 3.1.2.Vrai ou faux?

Analyse I / GM

3.1 Définitions et exemples

3.1.1 Définition

3.1.2 Représentations

3.1.3 Exemples

3.1.4 Suites majorées, minorées, bornées

3.1.5 Suites monotones

3.1.6 Pourquoi étudier les suites?