On a pour l’instant considéré deux types de limites:

celles qui convergent vers une limite finie: $n \to \infty lim x_{n} = L$ ,
celles qui tendent vers l’infini: $n \to \infty lim x_{n} = \pm \infty$ .

Or les limites importantes de l’analyse, celles qui permettent de faire avancer le développement du calcul différentiel et intégral, sont toutes des limites qui impliquent une forme ou une autre d’indétermination.
Une limite représente une indétermination lorsqu’elle fait intervenir une combinaison de grandeurs qui est telle qu’on ne peut pas déterminer sa valeur directement à l’aide d’une des propriétés de base des limites vues précédemment . Plus précisément, une indétermination apparaît lorsque une suite est composée d’autres suites, présentant des comportement du type “tend vers zéro” ou “tend vers l’infini”.
On décrit les principales indéterminations en considérant une suite

x_{n}

formée à partir de deux autres suites, que l’on notera

a_{n}

b_{n}

. On suppose les comportements de

a_{n}

b_{n}

connus lorsque

n \to \infty

Nous ne traiterons pas les indéterminations de façon générale puisque justement, leur présence indique qu’une étude au cas par cas est nécessaire. Nous allons donc discuter certaines de ces indéterminations, et présenter quelques techniques qui permettent de les résoudre, sur des exemples. Notons que ces techniques ne sont pas spécifiques au cas

n \to \infty

: toutes seront utiles plus tard, dans d’autres types de limites (comme

x \to x_{0}

3.8.1 Indéterminations du type “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”

Exemple 3.24.

Nous avons déjà rencontré la suite

x_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1},

qui est du type “

\frac{\infty}{\infty}

” puisque

n^{2} \to + \infty

n + 1 \to + \infty

. Nous avions également montré qu’elle tend vers

+ \infty

, l’intuition derrière ce fait étant la présence de l’exposant “

2

” fait que le numérateur l’emporte dans la limite

n \to \infty

.
Une autre façon de traiter ce quotient est de l’écrire comme un produit:

\frac{n ^{2}}{n + 1} = = a_{n} n \cdot = b_{n} \frac{n}{n + 1}

On a alors

a_{n} \to + \infty

b_{n} \to 1

, ce qui implique (par une propriété énoncée et démontrée ici) que

\frac{n ^{2}}{n + 1} = a_{n} b_{n} \to + \infty .

Ainsi, en récrivant notre suite, on a pu la mettre sous une forme qui permet de déduire son comportement à l’aide d’une propriétés de base des suites.

Informel 3.8.Lorsqu’on est en présence d’un quotient

\frac{a _{n}}{b _{n}}

dans lequel

a_{n}

b_{n}

sont les deux grands, on essaiera d’extraire ce qui est à l’origine de cette grandeur, en mettant un terme dominant en évidence. On pourra alors faire des simplifications dans la fraction

\frac{a _{n}}{b _{n}}

, et éventuellement faire disparaître l’indétermination.

Exemple 3.25.

Considérons

n \to \infty lim \frac{3 n ^{3} - 17 n + 1}{5 n ^{3} + sin ( n )},

qui est effectivement une indétermination de la forme “

\frac{\infty}{\infty}

”, puisque

$a_{n} = 3 n^{3} - 17 n + 1 \to + \infty$ (polynôme de degré $3$ , dont le coefficient principal est $3 > 0$ ),
$b_{n} = 5 n^{3} + sin (n) \to + \infty$ ( $5 n^{3} \to \infty$ et $sin (n)$ est bornée).

Ce que l’on peut faire ici est extraire les termes dominants dans

a_{n}

b_{n}

, qui sont les termes contenant la puissance

n^{3}

\frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{3 n ^{3} - 17 n + 1}{5 n ^{3} + sin ( n )} = \frac{n ^{3} ( 3 - \frac{17}{n ^{2}} + \frac{1}{n ^{3}} )}{n ^{3} ( 5 + \frac{s i n ( n )}{n ^{3}} )} = \frac{3 - \frac{17}{n ^{2}} + \frac{1}{n ^{3}}}{5 + \frac{s i n ( n )}{n ^{3}}} = \frac{a _{n}^{'}}{b _{n}^{'}}

En simplifiant par

n^{3}

on a obtenu un nouveau quotient qui dans la limite

n \to \infty

n’est plus indéterminé. En effet,

a_{n}^{'} \to 3

b_{n}^{'} \to 5

, et donc

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = n \to \infty lim \frac{a _{n}^{'}}{b _{n}^{'}} = \frac{3}{5} .

Exemple 3.26.

Les comparaisons des comportements logarithmiques, polynomiaux et exponentiels, ont consisté à résoudre les indéterminations “

\frac{\infty}{\infty}

” suivantes:

x_{n} = \frac{( lo g _{r} ( n ) ) ^{β}}{n ^{α}} \to 0, x_{n} = \frac{n ^{α}}{r ^{n}} \to 0 .

Remarquons que ces limites ont requis une analyse plus fine, puisque numérateur et dénominateur sont de nature différente (on n’a pas pu simplement extraire de “terme dominant”).

3.8.2 Indéterminations du type “ $\infty - \infty$ ”

Souvent, une suite est définie par une différence de deux nombres qui deviennent de plus en plus grands à mesure que

n

augmente. Or la différence de deux nombres grands peut, a priori, avoir n’importe quel type de comportement.

Exemple 3.27.

Considérons

n \to \infty lim (n^{3} - 5 n^{2}),

dans laquelle

a_{n} = n^{3} \to + \infty

b_{n} = 5 n^{2} \to \infty

. Comme

a_{n}

tend vers l’infini plus vite que

b_{n}

, dû au fait qu’il contient un terme de degré

3 > 2

, on a avantage à mettre

n^{3}

en évidence et obtenir un produit,

a_{n} - b_{n} = n^{3} - 5 n^{2} = a_{n}^{'} n^{3} b_{n}^{'} (1 - \frac{5}{n})

Maintenant, on a toujours

a_{n}^{'} \to \infty

, mais puisque

b_{n}^{'} = 1 - \frac{5}{n} \to 1 \neq = 0

, leur produit tend vers

+ \infty

. On a donc

n \to \infty lim a_{n} b_{n} = n \to \infty lim a_{n}^{'} b_{n}^{'} = + \infty .

L’identité élémentaire

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

est souvent utile lorsqu’on a affaire à une différence

a - b

, si on la formule comme suit:

a - b = \frac{( a - b ) ( a + b )}{( a + b )} = \frac{1}{a + b} (a^{2} - b^{2})

Ici, on a multiplié et divisé par le conjugué de

a - b

. Ainsi, à la différence “

a - b

” se substitue la différence “

a^{2} - b^{2}

”, qui est parfois plus facile à traiter.

Cette approche est particulièrement efficace lorsqu’on a des différences de racines:

Exemple 3.28.

Considérons

n \to \infty lim {n + 1 - n},

qui est bien du type “

\infty - \infty

”. En multipliant et divisant par le conjugué,

n + 1 - n = (n + 1 - n) \frac{n + 1 + n}{n + 1 + n} = \frac{( n + 1 ) - n}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n} .

Ce quotient n’est plus indéterminé:

n \to \infty lim {n + 1 - n} = n \to \infty lim \frac{1}{n + 1 + n} = 0 .

Parfois, on pourra (même si c’est assez rare) résoudre une indétermination “

\infty - \infty

”, de la forme

lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n})

, en extrayant explicitement de

a_{n}

et de

b_{n}

la même partie divergente:

Exemple 3.29.

Considérons le cas “

\infty - \infty

” suivant:

n \to \infty lim (lo g (e^{n} + 2) - lo g (e^{n} + 1))

Ici, on peut remarquer qu’en écrivant

a_{n} b_{n} = lo g (e^{n} + 2) = lo g (e^{n} (1 + 2 e^{- n})) = n + lo g (1 + 2 e^{- n}), = lo g (e^{n} + 1) = lo g (e^{n} (1 + e^{- n})) = n + lo g (1 + e^{- n}),

ce qui montre que

a_{n}

b_{n}

contiennent tous deux un “

n

”, qui tend vers l’infini, et qui disparaît lorsqu’on fait la différence:

n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = n \to \infty lim (lo g (1 + 2 e^{- n}) - lo g (1 + e^{- n})) = lo g (1) - lo g (1) = 0 .

C’est donc un cas d’une indétermination “

\infty - \infty

” dans laquelle on peut montrer que les infinis se “compensent exactement”.

3.8.3 Indéterminations du type “ $\frac{0}{0}$ ”

Nous reviendrons au indéterminations “

\frac{0}{0}

”, puisqu’elles sont au coeur du problème de la dérivation, un outil central de l’analyse.

Pour l’instant, donnons déjà une limite classique “

\frac{0}{0}

”:

Théorème 3.5.

Soit

(x_{n})

une suite représentant des mesures d’angles en radians. Si

x_{n} \neq = 0

pour tout

n

, et si

x_{n} \to 0

, alors

n \to \infty lim \frac{sin ( x _{n} )}{x _{n}} = 1 .

Informel 3.9.Attention, il est important de mentionner que le sinus, dans

sin (x_{n})

, est calculé en supposant que l’angle

x_{n}

est mesuré en radians. Sinon, la limite n’est pas la même!

Proof

Comme la fonction

x \mapsto \frac{s i n ( x )}{x}

est paire, on peut supposer que

x_{n} > 0

pour tout

n

.
Puisque

x_{n} \to 0

, on a

0 < x_{n} < \frac{π}{2}

pour tout

n

suffisamment grand. Considérons donc un angle sur le cercle trigonométrique, dont la mesure en radians

x_{n}

est entre

0

\frac{π}{2}

Remarquons que le triangle

O A P

est inclus dans le secteur circulaire

O B P

, qui est lui-même inclus dans le triangle

O B M

. On a donc

aire (△ O A P) ⩽ aire (secteur O B P) ⩽ aire (△ O B M) .

On explique ici comment calculer l’aire d’un secteur. Ainsi, en exprimant chacune de ces aires en fonction de

x_{n}

\frac{1}{2} cos (x_{n}) sin (x_{n}) ⩽ \frac{1}{2} x_{n} 1^{2} ⩽ \frac{1}{2} tan (x_{n}) .

Ce deux inégalités sont équivalentes à

a_{n} cos (x_{n}) ⩽ \frac{sin ( x _{n} )}{x _{n}} ⩽ b_{n} \frac{1}{cos ( x _{n} )} .

Puisque

x_{n} \to 0

, on a

a_{n} = cos (x_{n}) \to 1

b_{n} \to \frac{1}{1} = 1

. On conclut donc avec le théorème des deux gendarmes.

□

3.8.4 Sur l’équivalence entre les indéterminations

Toutes les indéterminations du tableau présenté plus haut sont équivalentes, dans le sens où on peut toujours transformer une indétermination en une autre. Voyons les principaux cas.

Supposons par exemple que la limite de $\frac{a _{n}}{b _{n}}$ soit “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Cela implique que $\frac{1}{b _{n}} \to 0$ , et donc en écrivant $\frac{a _{n}}{b _{n}} = a_{n} \cdot \frac{1}{b _{n}}$ , la limite devient du type “ $\infty \cdot 0$ ”.
Supposons ensuite que la limite de $\frac{a _{n}}{b _{n}}$ soit “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. En écrivant
$\frac{a _{n}}{b _{n}} = exp (lo g \frac{a _{n}}{b _{n}}) = exp (lo g (a_{n}) - lo g (b_{n})),$
on voit que l’on fait apparaître $lo g (a_{n}) - lo g (b_{n})$ , qui dans la limite est du type “ $\infty - \infty$ ”.
Soit finalement $a_{n}^{b_{n}}$ une suite qui dans la limite $n \to \infty$ est du type “ $1^{\infty}$ ”. En écrivant $a_{n}^{b_{n}} = exp (b_{n} lo g (a_{n}))$ , comme $a_{n} \to 1$ implique $lo g (a_{n}) \to 0$ , $b_{n} lo g (a_{n})$ est du type “ $\infty \cdot 0$ ”.

Quiz 3.8.2.Vrai ou faux?

Analyse I / GM

3.8 Indéterminations

3.8.1 Indéterminations du type “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”

3.8.2 Indéterminations du type “ $\infty - \infty$ ”

3.8.3 Indéterminations du type “ $\frac{0}{0}$ ”

3.8.4 Sur l’équivalence entre les indéterminations

3.8 Indéterminations

3.8.1 Indéterminations du type “∞∞​”

3.8.2 Indéterminations du type “∞−∞”

3.8.3 Indéterminations du type “00​”

3.8.4 Sur l’équivalence entre les indéterminations

3.8.1 Indéterminations du type “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”

3.8.2 Indéterminations du type “ $\infty - \infty$ ”

3.8.3 Indéterminations du type “ $\frac{0}{0}$ ”