Le calcul de limites sera grandement facilité par l’utilisation des propriétés générales satisfaites par les suites convergentes, que nous commençons à décrire maintenant.

La première propriété dit qu’une suite ne peut pas tendre vers deux limites différentes:

Lemme 3.1.

Si une suite est convergente, alors sa limite est unique.

Proof

Supposons, par l’absurde, que

a_{n} \to L

a_{n} \to L^{'}

, avec

L \neq = L^{'}

. Si on suppose par exemple que

L < L^{'}

, alors on peut toujours prendre un

ε > 0

suffisamment petit, de manière à ce que les intervalles

[L - ε, L + ε]

[L^{'} - ε, L^{'} + ε]

soient disjoints:

Plus concrètement, on peut garantir que ces intervalles sont disjoints en prenant par exemple

ε := \frac{L ^{'} - L}{3} .

Maintenant,

Comme $a_{n} \to L$ , il existe $N$ tel que $a_{n} \in [L - ε, L + ε]$ pour tout $n ⩾ N$ .
Comme $a_{n} \to L^{'}$ , il existe $N^{'}$ tel que $a_{n} \in [L^{'} - ε, L^{'} + ε]$ pour tout $n ⩾ N^{'}$ .

Cela implique que pour

n ⩾ max {N, N^{'}}

a_{n}

doit être dans les deux intervalles en même temps, une contradiction puisque ces intervalles sont disjoints.

□

La deuxième est que les valeurs des termes d’une suite convergente ne peuvent pas devenir trop grands:

Lemme 3.2.

Si une suite converge, alors elle est bornée.

Lemme 3.3.

a_{n} \to L

, alors

∣ a_{n} ∣ \to ∣ L ∣

Proof

L’inégalité triangulaire permet d’écrire

∣ a_{n} ∣ = ∣ (a_{n} - L) + L ∣ ⩽ ∣ a_{n} - L ∣ + ∣ L ∣,

ainsi que

∣ L ∣ = ∣ (L - a_{n}) + a_{n} ∣ ⩽ ∣ a_{n} - L ∣ + ∣ a_{n} ∣,

En combinant ces inégalités, on obtient

- ∣ a_{n} - L ∣ ⩽ ∣ a_{n} ∣ - ∣ L ∣ ⩽ ∣ a_{n} - L ∣,

qui est équivalente à

∣ a_{n} ∣ - ∣ L ∣ ⩽ ∣ a_{n} - L ∣ .

Soit maintenant

ε > 0

. Puisque

a_{n} \to L

, il existe

N

tel que

∣ a_{n} - L ∣ ⩽ ε

pour tout

n ⩾ N

. Par l’inégalité ci-dessus, ceci implique aussi que

∣∣ a_{n} ∣ - ∣ L ∣∣ ⩽ ε

pour tout

n ⩾ N

□

Remarque 3.1.

Remarquons que la suite des valeurs absolues

∣ a_{n} ∣

peut avoir une limite, même si

a_{n}

est divergente. C’est par exemple ce qui se passe avec la suite

a_{n} = (- 1)^{n}

. Ceci implique que la réciproque du lemme précédent est fausse en général.

Finalement, listons quelques propriétés qui sont utilisées constamment dans les calculs de limites.

Lemme 3.4.

(Opérations sur les limites) Soient

(a_{n})

(b_{n})

deux suites convergentes:

a_{n} \to L_{1}

b_{n} \to L_{2}

. Alors

Limite de la somme: $n \to \infty lim (a_{n} + b_{n}) = (n \to \infty lim a_{n}) + (n \to \infty lim b_{n}) = L_{1} + L_{2} .$
Limite du produit: $n \to \infty lim (a_{n} \cdot b_{n}) = (n \to \infty lim a_{n}) \cdot (n \to \infty lim b_{n}) = L_{1} L_{2} .$
Limite du quotient: si $L_{2} \neq = 0$ , alors $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{n \to \infty lim a _{n}}{n \to \infty lim b _{n}} = \frac{L _{1}}{L _{2}} .$
Si $a_{n} ⩽ b_{n}$ pour tout $n$ suffisamment grand, alors $L_{1} ⩽ L_{2}$ .

Remarque 3.2.

Dans la dernière propriété, les “

⩽

” ne peuvent pas être remplacés par des “

<

”. En effet, on peut très bien avoir deux suites convergentes telles que

a_{n} < b_{n}

pour tout

n

suffisamment grand, mais telles que

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n}

. Comme exemple simple, on peut considérer les suites

a_{n} = - \frac{1}{n}

b_{n} = \frac{1}{n}

Proof

1. Par l’inégalité triangulaire,

∣ (a_{n} + b_{n}) - (L_{1} + L_{2}) ∣ = ∣ (a_{n} - L_{1}) + (b_{n} - L_{2}) ∣ ⩽ ∣ a_{n} - L_{1} ∣ + ∣ b_{n} - L_{2} ∣ .

Fixons un

ε > 0

, et posons

ε^{'} := ε /2

. Comme

a_{n} \to L_{1}

, il existe

N_{a}

tel que

∣ a_{n} - L_{1} ∣ ⩽ ε^{'}

pour tout

n ⩾ N_{a}

. Comme

b_{n} \to L_{2}

, il existe

N_{b}

tel que

∣ b_{n} - L_{2} ∣ ⩽ ε^{'}

pour tout

n ⩾ N_{b}

. On a donc, pour tout

n ⩾ N := max {N_{a}, N_{b}}

∣ (a_{n} + b_{n}) - (L_{1} + L_{2}) ∣ ⩽ ∣ a_{n} - L_{1} ∣ + ∣ b_{n} - L_{2} ∣ ⩽ 2 ε^{'} = ε .

2. Comme

a_{n}

converge, elle est bornée: il existe

C > 0

telle que

∣ a_{n} ∣ ⩽ C

pour tout

n

. On peut donc écrire

∣ a_{n} b_{n} - L_{1} L_{2} ∣ = ∣ a_{n} b_{n} - a_{n} L_{2} + a_{n} L_{2} - L_{1} L_{2} ∣ ⩽ ∣ a_{n} ∣∣ b_{n} - L_{2} ∣ + ∣ L_{2} ∣∣ a_{n} - L_{1} ∣ ⩽ C ∣ b_{n} - L_{2} ∣ + ∣ L_{2} ∣∣ a_{n} - L_{1} ∣ .

Soit

ε > 0

. Soit

N_{a}

tel que

∣ a_{n} - L_{1} ∣ ⩽ \frac{ε}{2∣ L _{2} ∣}

pour tout

n ⩾ N_{a}

(serait dommage que

L_{2} = 0

!), et soit

N_{b}

tel que

∣ b_{n} - L_{2} ∣ ⩽ \frac{ε}{2 C}

pour tout

n ⩾ N_{b}

. On a alors que pour tout

n ⩾ N := max {N_{a}, N_{b}}

∣ a_{n} b_{n} - L_{1} L_{2} ∣ ⩽ C ∣ b_{n} - L_{2} ∣ + ∣ L_{2} ∣∣ a_{n} - L_{1} ∣ ⩽ C \frac{ε}{2 C} + ∣ L_{2} ∣ \frac{ε}{2∣ L _{2} ∣} = ε .

3. Il suffit de montrer la propriété dans le cas où

a_{n} = 1

pour tout

n

, c’est-à-dire de montrer que

b_{n} \to L_{2} \neq = 0

implique que

\frac{1}{b _{n}} \to \frac{1}{L _{2}} .

(En effet, on utilise alors la propriété du produit démontrée plus haut, pour conclure dans le cas général que

\frac{a _{n}}{b _{n}} = a_{n} \cdot \frac{1}{b _{n}} \to L_{1} \cdot \frac{1}{L _{2}}

.) Pour ce faire, commençons par utiliser le fait que

b_{n} \to L_{2}

implique

∣ b_{n} ∣ \to ∣ L_{2} ∣ > 0

: donc il existe

N_{0}

tel que

∣ b_{n} ∣ ⩾ ∣ L_{2} ∣/2 > 0

pour tout

n ⩾ N_{0}

. Ensuite, on peut écrire, pour tout

n ⩾ N_{0}

, que

\frac{1}{b _{n}} - \frac{1}{L _{2}} = \frac{∣ b _{n} - L _{2} ∣}{∣ L _{2} ∣ \cdot ∣ b _{n} ∣} ⩽ \frac{2}{∣ L _{2} ∣ ^{2}} ∣ b_{n} - L_{2} ∣ .

Fixons maintenant

ε > 0

, et posons

ε^{'} = \frac{∣ L _{2} ∣ ^{2} ε}{2}

. Comme

b_{n} \to L_{2}

, on sait qu’il existe

N^{'}

tel que

∣ b_{n} - L_{2} ∣ ⩽ ε^{'}

pour tout

n ⩾ N^{'}

. Si on pose

N = max {N_{0}, N^{'}}

, on a aussi, pour tout

n ⩾ N

\frac{1}{b _{n}} - \frac{1}{L _{2}} ⩽ \frac{2}{∣ L _{2} ∣ ^{2}} ∣ b_{n} - L_{2} ∣ ⩽ \frac{2}{∣ L _{2} ∣ ^{2}} ε^{'} = ε .

On a donc montré que

1/ b_{n} \to 1/ L_{2}

.
4. La preuve de la dernière propriété est laissée en exercice.

□

Exemple 3.14.

Considérons la suite

(x_{n})

définie ainsi:

x_{n} = \frac{6 n + 4}{8 n ^{3} + 4 n ^{2}}

La convergence de cette suite peut paraître a priori difficile à étudier, mais remarquons qu’on peut l’écrire comme un produit:

x_{n} = \frac{1}{2} \frac{3 n + 2}{2 n + 1} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{1}{2} a_{n} b_{n},

où

a_{n} = \frac{3 n + 2}{2 n + 1}

b_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

. On a montré précédemment que

a_{n} \to \frac{3}{2}

, et on montre facilement que

b_{n} \to 0

; en effet, si

ε > 0

, alors

∣ b_{n} ∣ ⩽ ε

dès que

n ⩾ N

, où

N

est un entier quelconque plus grand que

1/ ε

. On peut maintenant utiliser la propriété ci-dessus pour des limites de produits, et conclure que

n \to \infty lim x_{n} = n \to \infty lim \frac{1}{2} a_{n} b_{n} = \frac{1}{2} (n \to \infty lim a_{n}) (n \to \infty lim b_{n}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 0 = 0 .

On a donc montré que

x_{n}

converge et que sa limite est égale à zéro. Il est important d’apprécier le fait que si on avait voulu le montrer uniquement à partir de la définition de limite, il faudrait montrer que pour tout

ε > 0

, il existe un

N

tel que

\frac{6 n + 4}{8 n ^{3} + 4 n ^{2}} ⩽ ε, \forall n ⩾ N .

Partir à la recherche de ce

N

est possible, mais représente une tâche considérablement plus compliquée que la simple utilisation de la propriété pour la limite d’un produit.

Quiz 3.3.1.Vrai ou faux?

Analyse I / GM

3.3 Propriétés de la limite